Опубликован: 05.06.2018 | Доступ: свободный | Студентов: 536 / 106 | Длительность: 07:59:00
Лекция 1:

Основные понятия алгебры логики. Функции алгебры логики. Основные логические эквивалентности

Лекция 1: 12345678910 || Лекция 2 >

Штрих Шеффера (И-НЕ)

Штрих Шеффера (И-НЕ)1Шеффер, Генри Морисс (1882-1964) –американский учёный украинского происхождения

Таблица истинности
х y x / y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Основные свойства:

0/0 = 1

0/1 = 1

1/1 = 0

0/x = 1

1/x = \overline{x}

x/y = y/x

x/(y/z) ≠ (x/y)/z

Иногда ФАЛ "Штрих Шеффера" называют операцией "И-НЕ". И действительно, для двух переменных это так. Но если мы будем использовать большее количество переменных, то соотношение нарушается.

И, в то же время, для трёх и более переменных таблица истинности ФАЛ "Штрих Шеффера" совпадает с таблицей истинности функции "И-НЕ". Поэтому иногда в литературе можно встретить мнение о том, что операция "Штрих Шеффера" применима лишь для двух переменных. В остальных случаях следует говорить об операции "И-НЕ", при которой сначала выполняется конъюнкция всех переменных, от которых зависит ФАЛ, а затем проводится операция "НЕ" над полученным результатом.

Таким образом, для любого числа переменных функция "Штрих Шеффер" истинна, если хотя бы один из используемых аргументов ложен.

Покажем, что логическая функция x/(y/z) не эквивалентна ФАЛ (x/y)/z, то есть, что функции штрих Шеффера не действует сочетательный закон. Для этого построим таблицу истинности для первой и второй ФАЛ.

ƒ1(x,y,z)=(x/y)/z
x y z x/y (x/y)/z
0 0 0 1 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 1
0 1 1 1 0
1 0 0 1 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 1 0 1
ƒ2(x,y,z)=x/(y/z)
x y z y/z x/(y/z)
0 0 0 1 1
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1

Как мы видим, таблицы истинности для первой и второй функций не совпадают, то есть эти функции не эквивалентны.

Также приведём таблицу истинности ФАЛ "И-НЕ" для трех переменных.

x y z x&y&z "И-НЕ"(x,y,z)
0 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 0 1
1 0 0 0 1
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 0

Стрелка Пирса (функция Вэбба) (ИЛИ-НЕ)2Чарльз Пирс – американский математик (1839—1914)

Таблица истинности
х y x↓y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0

В некоторых источниках можно встретить разночтения в названии и обозначении этой ФАЛ. Иногда ее называют элементом Вэбба, иногда обозначают вертикально вверх направленной стрелкой. Мы в дальнейшем эту логическую функцию будем называть стрелкой Пирса и обозначать стрелкой, направленной вертикально вниз.

Свойства

0↓0 = 1

0↓1 = 0

1↓1 = 0

0↓x =x

1↓x = 0

x↓y=y↓x

x↓(y↓z) ≠ (x↓y)↓z

В отношении этой функции можно сказать примерно то же самое, что было сказано по поводу ФАЛ "Штрих Шеффера": для функции от двух переменных она эквивалентна функции "ИЛИ-НЕ". В то же время ассоциативный закон для нее не выполняется.

Прервем на немного рассмотрение отдельных функций и расскажем о правилах, которые зачастую помогаю существенно упростить то или иное логическое выражение.

Правила де Моргана.3Огастес (Август) де Мо́рган – шотладский математик и логик (1806-1871)Применительно к рассмотренным функциям, данные правила позволяют выполнить переход от одной формы представления логической функции к другой:

\overline{x_{1} \And x_{2}...\And x_{n}} = x_{1}\vee x_{2}\vee ...x_{n}
\overline{x_{1}\vee x_{2}\vee ...x_{n}} =x_{1}\And x_{2}...\And x_{n}

x1 & x2 & ... & xn = x1 v x2 v ... xn

x1 v x2 v ... xn = x1 & x2 & ... & xn

Или, описывая эти преобразования словесно, можно сказать, что "отрицание конъюнкций есть дизъюнкция отрицаний" и, в свою очередь, "отрицание дизъюнкций есть конъюнкция отрицаний".

Этими правилами мы будем в дальнейшем часто пользоваться.

При минимизации логических функций используются следующие эквивалентные преобразования.

Операция склеивания:

xy \vee x \overline{y} = x ( 1.1)
(x\vee y) \And (x\vee\overline{y}) = x ( 1.2)

Операция неполного склеивания:

xy\vee x\overline{y} = x\vee xy\vee x\overline{y}
(x\vee y)\And (x \vee\overline{y}) = x \And (x\vee y)\And (x\vee\overline{y})

Операция поглощения:

x v xy = x

x v xy = x

Казалось бы, что операция неполного склеивания не имеет отношение к минимизации, так как получаемое выражение больше исходного. Однако, эта операция играет очень важную роль при минимизации, что бы позднее покажем.

А пока покажем эквивалентность, например, одной из операций склеивания:

(x\vee y) \And (x\vee \overline{y}) = x
f_{1} = (x\vee y) \And (x\vee \overline{y})

Ее таблица истинности имеет вид:

х y x v y \overline{y} x \vee \overline{y} ƒ1(x,y)
0 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 0
1 0 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1

Это соответствует таблице истинности ƒ2(x,y) = x.

А теперь рассмотрим еще одну функцию, играющую важную роль в арифметических и логических основах ЭВМ.

Лекция 1: 12345678910 || Лекция 2 >