Рынок как система обслуживания случайных потоков
[+]
Опубликован: 26.10.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 405 / 17 | Длительность: 08:16:00
Темы: Экономика, Менеджмент
Специальности: Менеджер, Экономист
Лекция 3:

Рынок как система с явными потерями
A
|
версия для печати
< Лекция 2 || Лекция 3: 1234567 || Лекция 4 >

3.4. Потери в полнодоступной группе при обслуживании простейшего потока товаров

В предыдущих главах мы уже обсуждали типы потерь в полнодоступной группе при обслуживании простейшего потока товаров. Теперь можно проанализировать эти потери с помощью формулы Эрланга.

Качество обслуживания потока можно оценивать по следующим типам потерь:

P_{заяв.} потери по числу поступивших заявок на поставку товара - P_{заяв.}

P_{заяв.}=\frac{\overline С_{пост}-\overline C_{обсл}}{\overline C_{пост.}} ( 3.12)
;

где \overline C_{пост} число поступивших заявок

\overline C_{обсл} - \tau число обслуженных заявок

\overline C_{потер.} - \tau потерянных заявок

б) потери по объему товара -

P_{тов.}=\frac{Y_{пост}-Y_{обсл}}{Y_{пост}}=\frac{Y_{потер.}}{Y_{пост}} ( 3.13)
;

P_{тов.}=

где Y_{пост} - величина объема поступившего товара

Y_{обсл} - величина обслуженного товара

Y_{потер.}- величина потерянного товара

в) потери по времени реализации - P_ t .

- определяется как доля времени, в течение, которого заняты все потребители - P_t .

В самом общем случае имеет место соотношение:

P_{тов} \leq P_{заяв} \leq P_t

P_{заяв} \leq P_t, так как может быть такой случай, когда все потребители заняты, но партия товаров не поступает.

P_{тов} \leq P_{заяв}, так как длительность занятия потребителей повторными предложениями может быть значительно меньше средней длительности потребления.

Рассмотрим соотношение между P_{тов}, P_{заяв} и P_t для простейшего потока.

  1. Потери по времени.

    Вероятности P_0,P_1,…,P_i ,…, P_v можно рассматривать как доли

    времени рассматриваемого промежутка, в течение которого заняты 0,1,…, i ,…, \nu групп потребителей. Это утверждение представляет собой, так называемую Эргодическую теорему. Это утверждение мы примем без доказательства.

    Следовательно, в полнодоступном пучке, на который поступает простейший поток вызовов, потери по времени численно равны вероятности занятия v групп потребителей:

    P_t=E_{ \nu , \nu} (A)=E_{\nu} (A)

  2. Потери по заявкам.

    Пусть интенсивность поступающего предложения товара на полнодоступные группы потребителей - A создаётся числом заявок - C_{пост} поступающим на реализацию партий товаров. Заявки на реализацию партий товаров, которые поступают за долю, составляющую потерянное время (вероятность P_{\nu}), будут потеряны. Доля потерянных заявок будет равна.

    C_{потер.}=C{пост}\cdot P_{\nu} ( 3.14)

    Тогда потери по числу поступивших заявок на поставку товара:

    Р_{заяв.}= \frac {C_{потер}}{C_{пост}}=P_{\nu}(Y)=E_{\nu}(Y)

  3. Определим потери по объему товара - P_{тов.} .

    С этой целью определим потери объему товара, обслуженные \nu группами потребителей. Вспомним, что интенсивность предложения обслуженного группами потребителей, численно равна среднему числу одновременно занятых потребителей.

    Р_{заяв.}= \frac {C_{потер}}{C_{пост}}=P_{\nu}(Y)=E_{\nu}(Y)

    Y_{обсл.}=\sum_{i=0}^{\nu} i \cdot P_i = \sum_{i=0}^{\nu} i \cdot \frac{\frac{Y_i}{i!}}{ \sum\nolimits_{i}^{\nu} \frac{Y_i}{i!} } = \sum_{i=0}^{\nu} \frac{1}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu}\frac{Y_i}{i!}} \sum_{i=0}^{\nu} I \cdot \frac{Y^i}{i!}…

    Можно показать, что потери по объему товара - P_{тов} = E_{\nu}(Y ). Первый член во второй сумме при i=0 равен нулю, поэтому суммирование можно начинать с i=1. Обозначим i -1=r , тогда при i=1 r=0 , а при i=\nu r=\nu-1:

    … \frac{Y}{ \sum\nolimits_{i=0}^{\nu} \frac{Y_i}{i!}}\cdot \sum_{i=1}^{\nu}\frac{Y^{i-1}}{(i-1)!}=\frac{Y}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu}} \frac{Y_i}{i!} \cdot \sum_{r=1}^{\nu} \frac{Y^r}{r!}=\frac{Y}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu}\frac{Y_i}{i!}}[\sum_{r=0}^{\nu -1}\frac{Y^r}{r!}+ \frac{Y^{\nu}}{\nu !}- \frac{Y^r}{r!}=…]

    …\frac{Y}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu}\frac{Y_i}{i!}}[\sum_{r=0}^{\nu}\frac{Y^r}{r!}- \frac{Y^{\nu}}{\nu !}=…]=Y \cdot (1-P_{\nu})=Y-Y \cdot P_{\nu}

    где Y\cdot P_{\nu} = Y_{потер.}

    Так как Y_{обсл.}=Y _пост.}-Y_{потер.} , то Y_{ потер.}=Y_{пост.}\cdot p_{\nu}.

    P \nu =E \nu (Y )

    Таким образом, если полнодоступная группа потребителей обслуживает

    простейший поток вызовов, то:

    P_t=P_{тов.} =P_{заяв.}= E_{\nu} (Y) =P ( 3.15)

    E_{\nu}(Y)=\frac{\frac{Y_{\nu}}{\nu !}}{ \sum\nolimits_{i=0}^{\nu} \frac{Y^i}{i!} }

    - эта формула, определяющая потери при полнодоступной группе потребителей получила название первой формулы Эрланга.

    (Вторая формула Эрланга предназначена для систем с ожиданием).

    Функция E_{\nu}(y) табулирована. Таблицы первой формулы Эрланга построены так, что по числу поставляемых партий товаров, относительному потреблению отыскиваются потери E_{\nu}(y). Эти таблицы позволяют по двум любым заданным величинам из {\nu}, у и E_{\nu}(y) находить третью величину.

    Поскольку таблицы предназначены для расчета коммутационных систем, а не рынка, то термины таблицы надо приводить к принятым выше терминам. В табл. 3.1 приведены такие понятия

Таблица 3.1. Термины для применения таблиц первой формулы Эрланга при расчете спроса, предложения и потерь
В таблице В книге Обозначение
Нагрузка Относительное потребление Y или А
Линии (приборы) Партии товаров n или \nu
Вероятность потерь Вероятность потерь E_{1,\nu}(A)
Дальше >>
< Лекция 2 || Лекция 3: 1234567 || Лекция 4 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0