Тверской государственный университет
Опубликован: 06.10.2013 | Доступ: свободный | Студентов: 1274 / 294 | Длительность: 02:37:00
Специальности: Преподаватель
Лекция 1:

Позиционные системы счисления. Представление целых чисел

Лекция 1: 12 || Лекция 2 >
Аннотация: Формальный алгоритм перевода десятичного числа в систему с основанием p.

Для записи целых чисел можно использовать разные способы. Такие способы принято называть системами счисления. Например, целое число можно записывать последовательностью "палочек". Число 5 выглядит при таком способе как |||||. Понятно, что такой способ хорош только для записи небольших чисел. Для записи целых чисел, особенно дат, иногда применяют римскую систему счисления. В этой системе 2013 год записывается следующим образом MMXIII.

Основным способом записи чисел является их запись в различных позиционных системах счисления. Для записи числа в позиционной системе счисления используется некоторое множество символов, называемых цифрами системы счисления. Общепринято использовать 10 цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, значения которых задают первые 10 чисел натурального ряда. Число используемых цифр задает основание системы счисления. В привычной со школьной скамьи десятичной системе счисления используются 10 цифр. В двоичной системе счисления с основанием 2 используются две цифры - 0 и 1. В позиционных системах счисления с основанием p, где p <=10 обычно используются первые p из приведенных 10 цифр. В системах счисления с основанием p  > 10 десяти приведенных цифр не хватает, поэтому необходимы другие символы для записи цифр. В широко используемой при работе с компьютерами 16-иричной системе счисления, где необходимо 16 цифр, наряду с цифрами 0 - 9 в качестве цифр используют начальные буквы латинского алфавита - A, B, C, D, E, F, задающие соответственно числа от 10 до 15.

В любой системе счисления основание системы счисления – число p – всегда записывается как число 10. Поясним причину этого на примере десятичной системы. Число 9 можно записать, используя цифру 9, но, если прибавить к 9 единицу, то на следующее число цифры уже не будет. Поэтому в позиционных системах в таких случаях число записывается с помощью двух цифр как число 10 – в младшем разряде пишется 0, а в старшем 1. В двоичной системе счисления числа 0 и 1 можно записать с помощью цифр, но, если прибавить к 1 единицу, то для двойки уже цифры нет, поэтому в двоичной системе число 2 записывается с помощью двух цифр, как число 10.

Вопрос: Чему равно число, записанное в системе счисления с основанием p как 10_{p}?

Ответ: Эта запись означает число p в привычной для нас десятичной системе счисления.

Вопрос: В каких системах счисления справедливы утверждения?

2 * 2 = 10
2 * 2 = 11
2 * 2 = 100
2 * 2 = 4

Ответы: ( В системах с основаниями соответственно: 4, 3, 2, в любых системах с основанием p > 4)

Рассмотрим привычную для нас запись числа N = 754 в десятичной системе счисления. Не задумываясь, мы ответим, что число N состоит из 7-и сотен, 5-и десятков и 4-х единиц.

N = 7 * 10^2 + 5 * 10^1 + 4 * 10^0

В общем случае запись N = c_{k-1} c_{k-2}…c_{0}, где c_{i} – цифры системы счисления означает:

N = c_{k-1} * p^{k-1} + c_{k-2} * p^{k-2} + … + c_{0} * p^{0}, ( *)

где pоснование системы счисления. Учитывая, что в любой системе счисления p = 10, то справедлива и такая запись:

N = c_{k-1} * 10_{p}^{k-1} + c_{k-2} * 10_{p}^{k-2} + … + c_{0} * 10_{p}^{0}, ( **)

Вот точное определение:

Запись числа в позиционной системе счисления означает разложение числа по степеням основания. В роли коэффициентов выступают цифры системы счисления.

Понимание этого факта и соответствующего ему представления числа N соотношением (*) достаточно для решения многих задач экзамена ЕГЭ.

Задача 1: Сколько единиц в двоичной записи числа 130?

Ответ: 2.

Решение. Число  130 = 128 + 2  = 1 * 2^7  + 1 * 2^1. Остальные коэффициенты равны 0. Полное решение задачи. Поскольку максимальная степень двойки равна 7, то число 130 в двоичной системе будет содержать 8 цифр – 2 единицы и 6 нулей 130_{10} = 10000010_{2}

Задача 1 решается мгновенно, если помнить степени числа 2

Задача 2: Сколько нулей в троичной записи числа 130?

Ответ: 0

Решение: Используя разложение по степеням основания 3, число 130 можно представить:

130_{10} = 3^4  + 3^3 + 2 * 3^2 + 3 + 1 = 81 + 27 + 18 + 3 + 1 = 11211_{3}

Задача 2 может потребовать некоторых вычислений из-за того, что со степенями тройки сложнее работать, чем со степенями двойки, которые обычно помнит наизусть каждый ученик, изучающий информатику.

Задача 3: Чему равно число, записанное как 243_{5} в пятеричной системе счисления?

Ответ: 73_{10}

Решение: Это обратная задача по отношению к задаче 1. Здесь зная цифры и основание системы счисления нужно восстановить число, используя соотношение (*).

N = 243_{5} = 2 * 5^2 + 4 * 5^1 + 3 = 50 + 20 + 3 = 73_{10}

Задача 4: Число 243_{5} записать в двоичной системе счисления?

Ответ: 1001001_{2}

Решение: Задача записи числа N в системе счисления с основанием p, если задана его запись в системе с основанием q, решается в два этапа. На первом этапе число переводится в десятичную систему, на втором этапе – в систему с основанием p.

N = 243_{5}  = 73_{10}  = 64 + 8 + 1 = 1001001_{2}
Лекция 1: 12 || Лекция 2 >
Мария Паршикова
Мария Паршикова
Александр Коротенко
Александр Коротенко
Курс "Подготовка к ЕГЭ по информатике". Знаю, что ответ верный, но система его не принимает. Пытался ввести его в разных формах (строчные, прописные, все, одна и т.д.)
Елена Келлер
Елена Келлер
Россия, Прокопьевск
Андрей Горяинов
Андрей Горяинов
Россия