Методы генерации признаков
11.1. Генерация признаков на основе линейных преобразований
В данном разделе рассматриваются способы генерации признаков через линейные преобразования исходных измерений образов. Целью такой генерации признаков является сокращение информации до "значимой", т.е. надо просто преобразовать исходное множество измерений в новое множество признаков. Обычно задача состоит в выделении низкочастотных компонент, содержащих основную информацию.
11.1.1. Базисные вектора
Пусть
-
– множество исходных измерений,
-
– соответствующий вектор столбец.
Рассмотрим унитарную матрицу . Для
действительной матрицы
условие унитарности
обозначает, что матрица
ортогональная, т.е.
. Для комплексной
матрицы
условие унитарности обозначает, что
, где матрица
- транспонированная (сопряженная).
Пусть
![y=A^H X=
\left(
\begin{gathered}
a_0^H \\
a_1^H \\
\vdots \\
a_{N-1}^H
\end{gathered}
\right)
\cdot X](/sites/default/files/tex_cache/b75059e57341b30e1a2ef5d74f585a00.png)
![a_0^H,a_1^H,\ldots,a_{N-1}^H](/sites/default/files/tex_cache/e0f2e718314d59a6481ce563e50adc94.png)
![a_i](/sites/default/files/tex_cache/2aecb1dc57e87620a373d19b0a889efb.png)
![A=(a_0,a_1,\ldots,a_{N-1})](/sites/default/files/tex_cache/4185d05ac4927db093692c28d885fcf4.png)
![x=(AA^{-1})x=(AA^H)x=AA^H x=Ay=\sum_{i=0}^{N-1}y(i)a_i.](/sites/default/files/tex_cache/ba525adfbc478b17d92235bf2bcc8f0c.png)
Вектора называются базисными векторами.
Таким образом, в силу ортогональности
между собой, y(i) – это проекция
вектора
на базисные вектора.
11.1.2. Случай двумерных образов.
Пусть – двумерные измерения.
Очевидно, что представление его в виде вектора размерности
неэффективно. Альтернативой является преобразование
через
базисные матрицы.
Пусть и
– унитарные
матрицы. Определим матрицу преобразования
в
:
![Y=U^HXV.](/sites/default/files/tex_cache/09d332fdcabbacf18bb96b1927a322d8.png)
Учитывая, что и
, имеем
![X=UYV^H](/sites/default/files/tex_cache/280db63027d890d75978abd1d057285c.png)
Следовательно
![]() |
( 11.1) |
Пусть
-
, где
– вектор-столбец,
-
, где
– вектор-строка.
Тогда
![A_{ij}=u_i\nu_j^H=
\begin{pmatrix}
u_{i,0}\nu_{j,0}^* & u_{i,0}\nu_{j,1}^* & \ldots & u_{i,0}\nu_{j,N-1}^* \\
u_{i,1}\nu_{j,0}^* & u_{i,1}\nu_{j,1}^* & \ldots & u_{i,1}\nu_{j,N-1}^* \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
u_{i,N-1}\nu_{j,0}^* & u_{i,N-1}\nu_{j,1}^* & \ldots & u_{i,N-1}\nu_{j,N-1}^*
\end{pmatrix}.](/sites/default/files/tex_cache/b2e137cbb5d4490cf5438873055d7253.png)
Таким образом (11.1) есть выражение в терминах
базисных матриц. Если
– диагональная, то (X=\sum_{i=0}^N-1) – это
разложение по базисным матрицам или образам.
Также возможна следующая запись:
![Y(i,j)=X,\langle A_{ij}\rangle.](/sites/default/files/tex_cache/8f7aae240c48d402635c2fb4bfb5ab54.png)
Тогда
![\langle A,B\rangle=\sum_{m=0}^{N-1}\sum_{n=0}^{N-1}A(m,n)\cdot B^*(m,n).](/sites/default/files/tex_cache/50b9b989f63f62440e64cefd5477b9e1.png)