Методы генерации признаков
11.4. Преобразования Адамара и Хаара
Преобразование Адамара и Хаара имеют такие же вычислительные
достоинства, как и ДПФ, ДКП, ДСП. Их матрицы состоят из , поэтому они
вычисляются через сложения и вычитания без умножений.
11.4.1. Преобразование Адамара
Определение. Унитарная матрица Адамара порядка
– это
матрица, где
, сгенерированная по следующему итерационному правилу
![H_n=H_1\oplus H_{n-1},](/sites/default/files/tex_cache/2ff65f80cb517b2748b2dabb51d2a88b.png)
![H_1=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/0b8df254556660f170005ce4874add9a.png)
![\oplus](/sites/default/files/tex_cache/61a41642d26f221806dcbccfcebc2ef8.png)
![A\oplus B=
\begin{pmatrix}
A(1,1)B&A(1,2)B&\ldots&A(1,N)B\\
A(2,1)B&A(2,2)B&\ldots&A(2,N)B\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ldots\\
A(N,1)B&A(N,2)B&\ldots&A(N,N)B
\end{pmatrix}.](/sites/default/files/tex_cache/3f0def289a4351037a999c93bfb909d0.png)
Распишем :
![H_2=H_1\oplus H_1=\frac12
\begin{pmatrix}
1&1&1&1\\
1&-1&1&-1\\
1&1&-1&-1\\
1&-1&-1&1
\end{pmatrix}.](/sites/default/files/tex_cache/0ac6662febae3da415738adcb5bbf3a3.png)
По аналогии можно выписать все .
Нетрудно установить ортогональность
:
![H_n^{-1}=H_n^T=H_n.](/sites/default/files/tex_cache/aa53dd3b649534a947043bbf3e393199.png)
Для вектора из
образцов пара преобразований есть:
Преобразование Адамара имеет очень хорошие "упаковочные"
свойства. Алгоритм для вычисления выделений и сложений достаточно
быстрый: .
11.4.2. Преобразование Хаара
Начальной точкой для определения преобразования Хаара являются
функции Хаара, которые являются непрерывными и определенными на
замкнутом сегменте .
Порядок функций Хаара единственным образом раскладывается через
два целых числа
и
:
![k=2^p+q-1,\;k=0,1\ldots,L-1,\;L=2^n,](/sites/default/files/tex_cache/f22bcd859e2375fb5fbaf8dea40fe877.png)
Определение. Функции Хаара:
![\begin{aligned}
&h_0(z)\equiv h_{00}(z)=\frac{1}{\sqrt{L}},\;z\in[0,1];\\
&h_k(z)\equiv h_{pq}(z)=\frac{1}{\sqrt{L}}\cdot
\left\{
\begin{aligned}
&2^{\frac{p}{2}},\text{ при }\frac{q-1}{2^p}\leq z<\frac{q-0.5}{2^p},\\
&-2^{\frac{p}{2}},\text{ при }\frac{q-0.5}{2^p}\leq z<\frac{q}{2^p},\\
&0,\text{ для остальных } z\in[0,1].
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}](/sites/default/files/tex_cache/64ca04f5b59415160a0488cd2766f44e.png)