Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 709 / 30 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 11:

Теорема Эрбрана

< Лекция 10 || Лекция 11: 123 || Лекция 12 >

Теорема Эрбрана

Естественно ожидать, что вопрос о выводимости (или общезначимости) формулы тем сложнее, чем сложнее сама формула. В этом разделе (а также в следующем) мы рассмотрим его для формул класса \Sigma_n и \Pi_n.

Начнем с самого простого случая — бескванторных формул. Пусть \varphi — бескванторная формула. Посмотрим, из каких атомарных формул она составлена, и заменим их на пропозициональные переменные (разные — на разные, одинаковые — на одинаковые). Получится формула логики высказываний, которую мы будем называть прототипом формулы \varphi. Имеет место следующее (почти очевидное) утверждение.

Теорема 54 (выводимость бескванторных формул). Бескванторная формула выводима (общезначима) тогда и только тогда, когда ее прототип является тавтологией.

Если прототип формулы \varphi является тавтологией, то формула \varphi является частным случаем пропозициональной тавтологии и потому выводима и общезначима.

Пусть прототип формулы \varphi не является тавтологией. Можно считать, что формула \varphi замкнута, поскольку свободные переменные с точки зрения общезначимости и выводимости ничем не отличаются от констант (мы уже отмечали это при доказательстве теоремы о полноте). Построим интерпретацию, где формула \varphi будет ложной. Носителем ее будут замкнутые термы. Значения предикатов мы подберем так, чтобы атомарные формулы принимали те самые значения, которые делают прототип формулы \varphi ложным. Это возможно, так как значения разных атомарных формул можно выбирать независимо (это значения либо разных предикатов, либо одного и того же предиката, но на разных термах).

Что можно сказать про общезначимость формул классов \Pi_1 и \Sigma_1? Для класса \Pi_1 все просто: общезначимость формулы со свободными переменными равносильна общезначимости ее замыкания (которое получается, если навесить кванторы всеобщности по всем переменным), поэтому формулы класса \Pi_1 по существу ничем не отличаются от бескванторных.

Вопрос для класса \Sigma_1 решается следующей теоремой:

Теорема 55 (Эрбрана). Формула \exists \xi_1\ldots\exists\xi_k\,\varphi (где формула \varphi — бескванторная) общезначима тогда и только тогда, когда найдется конечный список подстановок

\begin{align*}
\varphi(t_1/\xi_1,\dots, t_k/\xi_k),\\
\varphi(u_1/\xi_1,\dots, u_k/\xi_k),\\
\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\\
\varphi(w_1/\xi_1,\dots, w_k/\xi_k)
\end{align*}
(вместо переменных подставляются термы нашей сигнатуры), дизъюнкция которых общезначима.

Заметим, что дизъюнкция, о которой идет речь в теореме, является бескванторной формулой. По теореме 54 она общезначима тогда и только тогда, когда является частным случае пропозициональной тавтологии.

Прежде чем доказывать эту теорему, приведем пример. Рассмотрим формулу

\exists x \,( A(c,x)\to A(x,d) )
(в которой c и dконстанты). Она общезначима; соответствующий набор состоит из подстановок c/x и d/x. В самом деле, формула
(A(c,c)\to A(c,d))\lor (A(c,d)\to A(d,d))
истинна как при истинном A(c,d), так и при ложном. Заметим, что в этом примере нам понадобились две подстановки.

Доказательство теоремы Эрбрана. В одну сторону утверждение очевидно: если общезначима дизъюнкция подстановок, то общезначима формула с квантором. (Мы уже использовали это при элиминации кванторов в разделе "Элиминация кванторов" при доказательстве теоремы 28.)

Докажем обратное утверждение. Будем считать, что формула \varphi не содержит переменных, кроме \xi_1,\dots,\xi_k (как мы уже замечали, остальные переменные можно заменить константами). Рассмотрим (бесконечное) множество формул

\lnot\varphi(t_1/\xi_1,\dots,t_k/\xi_k)
для всевозможных наборов замкнутых термов t_1,\dots,t_k. Если это множество противоречиво, все доказано (тогда выводима дизъюнкция подстановок, отрицания которых используются при выводе противоречия). Если оно непротиворечиво, то существует интерпретация, в которой все эти формулы истинны. Мы не можем утверждать, что в этой интерпретации ложна формула
\exists\xi_1\dots\exists\xi_k\,\varphi
(носитель интерпретации может содержать элементы, не являющиеся значениями замкнутых термов). Однако если мы выбросим лишние элементы и оставим только значения термов, то эта формула станет ложной, так что она не общезначима.

Заметим, что теорему Эрбрана можно сформулировать чисто синтаксически: если выводима \Sigma_1 -формула \exists
\xi_1\ldots\exists \xi_k \varphi, то можно найти конечное число подстановок, дизъюнкция которых выводима. Можно предложить и доказательство, не использующее понятия общезначимости. Такое доказательство приведено, например, в книге Клини [16] (для генценовского варианта исчисления предикатов) и в книге Шенфилда [31] (для гильбертовского варианта). Синтаксическое доказательство (в отличие от нашего) конструктивно: по выводу \Sigma_1 -формулы можно алгоритмически указать соответствующие термы.

Если сигнатура не содержит функциональных символов, то теорема Эрбрана позволяет алгоритмически проверить выводимость формул класса \Sigma_1, поскольку число возможных подстановок конечно. Это же можно сказать и про формулы класса \Pi_2, так как внешние кванторы всеобщности можно отбросить, не меняя выводимости.

Естественный вопрос: можно ли построить аналогичные алгоритмы для следующих классов? Отрицательный ответ дается в следующем разделе.

< Лекция 10 || Лекция 11: 123 || Лекция 12 >