НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 6: Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1279 / 290 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

6.8. Задачи для самостоятельного решения

Будем рассматривать только частные типы краевых задач для поля , зависящего от двух пространственных переменных (x, y), удовлетворяющего уравнению
$\left({\frac{{\partial}^2}{{\partial} x^2} + \frac{{\partial}^2}{{\partial} y^2}}\right) {\varphi} = - S(x, y).$

В задачах электростатики $\varphi$ — это потенциал, а S соответствует плотности заряда; в стационарной тепловой задаче $\varphi$ — температура, S — локальная скорость выделения или поглощения тепла. Будут рассматриваться граничные условия Дирихле, в которых значения $\varphi$ задаются на некоторой замкнутой кривой в плоскости (x, y) и, возможно, на некоторых дополнительных кривых внутри области.

Реализовать численные алгоритмы, основанные на:
- непосредственной аппроксимации дифференциального оператора и решении системы сеточных уравнений методом Гаусса;
- применении итерационного алгоритма.
  - Для уравнения Лапласа, $S(x, y) \equiv 0$ , рассмотреть численное решение для простейших граничных условий (типа констант или линейных функций).
  - Для уравнения Пуассона вычислить разность потенциалов между двумя зарядами как функцию расстояния между ними и сравнить полученные значения с аналитическими.
  - Изменить программу так, чтобы можно было задавать на некоторых внешних и внутренних границах условия Неймана. Изучить решения с такими граничными условиями.
  - Вместо граничных условий Дирихле задаются периодические граничные условия. Тогда потенциалы на левой и правой, а также на верхней и нижней границах области произвольные, но равные по величине друг другу. Т.е. для всех i и j $\varphi_{i1} = \varphi_{iN} ; \varphi_{1j} = \varphi_{Nj}$ . Уравнения с такими условиями описывают пространственно - периодическое распределение плотности заряда в кристалле. Модифицировать программу и решить уравнение Пуассона с этими граничными условиями.
Для решения приведенной выше задачи с различными граничными условиями реализовать алгоритм быстрого дискретного преобразования Фурье (алгоритмы такого преобразования описаны, например, в [16.4], [16.8]).
Модель малярной кисти Подробнее об этой задаче и других примерах установившихся течений жидкости в [16.13, С. 232 - 240].
При окраске стены кистью, часть краски остается на стенке в виде слоя за кистью. Рассмотрим приближенную модель процесса. Предположим, что кисть состоит из большого числа параллельных и равноотстоящих друг от друга пластин, которые совместно скользят по плоской стенке, в направлении их контакта со стенкой вдоль оси x. Предположим, что пластины имеют бесконечные размеры в направлениях осей x и z, так что результирующее движение представляет собой установившееся течение одного направления. Уравнение движения имеет вид

$\frac{{\partial}^2 u}{{\partial}y^2} + \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}z^2} = 0.$

Здесь u — скорость течения жидкости.

Оси координат удобно связать с пластинами, тогда граничные условия для течения в канале между двумя соседними пластинами будут

$\begin{gather*} u = 0 \mbox{ при } y = 0 \mbox{ и }y = b,\quad 0 < z < \infty, \\ u = U \mbox{ при } z = 0, \quad 0 < y < b. \end{gather*}$
- Получить численное решение поставленной задачи. Сравнить результат с точным решением
  $u(y, z) = \frac{4U}{\pi} \sum\limits_{n \atop \mbox{нечетное}} \frac{1}{n} e^{- n {\pi}z/b} \sin{\frac{n {\pi}y}{b}}.$
  
  Объяснить, как реализован алгоритм для вычисления значений функции точного решения.
- Получить оценку толщины слоя жидкости, который будет оставаться на стенке позади кисти, при предположении, что все пластины имеют заднюю кромку при одном и том же значении x. Использовать формулу для объемного расхода жидкости, вытекающей из одного канала:
  $Q = \int\limits_0^{b}{\int\limits_0^{\infty} {udydz}} .$
  Сравнить со значением для точного решения $Q = AUb^{2},\ A \approx 0, 27$ .
- Указать недостатки рассмотренной модели. Определить характер их влияния на решение.
Стационарное движение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрических трубах
Рассмотрим движение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрической трубе произвольного поперечного сечения. Обозначая градиент давления
$\frac{{\partial}p}{{\partial} x} = - G(t),$
получим уравнение движения в виде
$\frac{{\partial}^2 u}{{\partial}y^2} + \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}z^2} = - \frac{G}{{\mu}}$
, где — коэффициент вязкости, u — скорость течения жидкости. Требуется решить уравнение, подчиняющееся граничным условиям, с помощью которых задаются градиент давления и значения u при определенных y и z.
- Решить задачу для трубы круглого поперечного сечения, для которой u = 0 на границе трубы, т.е. при $r = \sqrt{y^2 + z^2} = a$ . Сравнить численные результаты с точным решением
  $u = \frac{G}{4 {\mu}}(a^2 - r^2 )$
  . Получить численно величину объемного расхода жидкости через произвольное сечение
  $Q = \int\limits_0^{a}{u2 {\pi}rdr}$
  , сравнить ее с точным значением
  $Q = \frac{{\pi}a^4 G}{8 {\mu}}$
  . Предложить, как можно использовать данную величину для контроля точности численного расчета.
- Получить решение задачи для трубы эллиптического поперечного сечения с полуосями B (по оси y ) и C (вдоль оси z ). Сравнить результат численного решения с точным распределением скорости
  $u(y, z) = \frac{G}{{2 {\mu}(b^{- 2} + c^{- 2})}} \left({1 - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}}\right).$
  
  Самостоятельно вывести величину объемного расхода жидкости и сравнить ее точное значение с численными данными.
- Вычислить распределение скорости в трубе прямоугольного поперечного сечения со сторонами y = mb, z = mc (для определенности пусть c > b ). Получить точное решение для скорости и расхода, сравнить его с численным значением.
  Указание. Для получения точного решения учесть, что разность
  $u - \frac{G}{2} \frac{b^2 - y^2}{{\mu}}$
  представляет собой четную функцию как от y, так и от z, которая удовлетворяет уравнению Лапласа и равна 0 при y = mb.
Гравитационные волны
Примером нестационарных течений жидкости являются волновые движения с колебаниями отдельных частиц. Рассмотрим волны на поверхности жидкости, возникающие в результате того, что поверхность выведена из состояния равновесия и колеблется под действием силы тяжести. Такие волны называются гравитационными. Гравитационные волны описываются уравнениями нестационарных течений идеальной несжимаемой жидкости.

Пусть начальное возмущение заключается в отклонении жидкости от состояния равновесия. Предположим, что этим начальным возмущением являются мгновенные добавочные давления, вызванные, например, порывом ветра. Возникающие при этом движения будут потенциальны: ${\mathbf{V}} = \nabla {\varphi}$ . Уравнение неразрывности обращается в уравнение Лапласа:

Уравнения движения Эйлера приводятся к интегралу Коши - Лагранжа следующего вида:

$\frac{{{\partial}{\varphi}}}{{{\partial} t}} + \frac{{v^2}}{2} + \frac{p}{{\rho}} + gz = f(t),$

где gz представляет собой потенциал сил тяжести.

Пусть течение медленное, тогда квадратом скорости в последнем уравнении можно пренебречь. Кроме того, так как $\varphi$ определяется с точностью до произвольной функции, зависящей от времени, то это уравнение можно переписать в виде

$\frac{p}{{\rho}} = - \frac{{\partial}{\varphi}}{{\partial}t} - gz \mbox{ при } z = 0.$

Граничные условия. Предположим, что жидкость ограничена снизу непроницаемой поверхностью. На этой поверхности ставим условие непроницаемости на нормальный компонент скорости:
$V_n = \frac{{\partial}{\varphi}}{{\partial}n} = 0.$
Свободная поверхность (граница жидкости с газом) будет плоскостью, которую примем за координатную плоскость xy. На свободной поверхности жидкости давление p равно давлению газа над жидкостью (p_0). Граничное условие для скорости на свободной поверхности

$V_{z} = \frac{{\partial}{\varphi}}{{\partial}z} = - \frac{1}{g} \frac{{\partial}^2 {\varphi}}{{\partial}t^2} \mbox{ при } z = 0.$

Начальные условия. Пусть возмущенная поверхность в начальный момент (t = 0) определяется уравнением z = f(x, y). Тогда при t = 0, z = 0 справедливо соотношение
$\frac{{\partial}{\varphi}}{{\partial} t} = - gf(x, y).$
Начальные скорости возникают в результате действия импульса давления, равного . Потенциал скорости в начальный момент можно представить в виде

${\varphi} = - \frac{1}{{\rho}}f_1 (x, y).$

Плоские волны. Рассмотрим волновое движение, называемое плоскими волнами. В этом случае свободная поверхность будет представлять собой илиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси y. Пусть жидкость ограничена плоским горизонтальным дном, отстоящим от свободной поверхности на расстояние h. Тогда для искомого потенциала скорости $\varphi(x, z, t)$ справедливы соотношения

$\begin{gather*} \frac{{{\partial}^2 {\varphi}}}{{{\partial} x^2}} + \frac{{{\partial}^2 {\varphi}}}{{{\partial} z^2}} = 0, \\ \left({\frac{{{\partial}{\varphi}}}{{{\partial} z}}}\right)_{z = - h} = 0, \\ \frac{{{\partial}^2 {\varphi}(x, 0, t)}}{{{\partial} t^2}} + g \frac{{{\partial}{\varphi} (x, 0, t)}}{{{\partial} z}} = 0. \end{gather*}$

Начальные условия заменим требованием периодичности по времени t и координате x искомого решения.
- Построить аналитическое решение поставленной задачи, представив искомую функцию в виде ${\varphi} = \theta (t)X(x)Z(z)$ . Показать, что полученное решение — результат наложения четырех колебаний.
- Получить численное решение и сравнить его с аналитическим.
  Определить профиль волны $\zeta (x, y, t)$ , используя соотношение
  
  $\zeta = - \frac{1}{g} \frac{{{\partial}{\varphi}(x, y, t)}}{{{\partial} t}}.$
Прогрессивные волны. Провести численное исследование частного случая плоских волновых движений, который определяется потенциалом скорости вида

Профиль волны в этом случае имеет вид

$\zeta = - \frac{{A {\sigma}}}{g} {\sin}(kx - \sigma t).$

Описать основные закономерности рассматриваемого движения жидкости. Чему равен период волны, частота колебаний? Вывести формулу для траекторий частиц жидкости и сравнить ее на графике с траекторией, получаемой в численном решении.