Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1275 / 290 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Специальности: Математик
Лекция 6:

Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона

6.7 Задачи

  1. В современных формулировках метод релаксации рассматривается с черно - белым (шахматным, красно - черным) упорядочением узлов. Назовем все внутренние узлы сетки черными, если для них сумма значений индексов четная, все прочие внутренние узлы назовем белыми. Получить расчетные формулы метода верхней релаксации для сетки с черно - белым (шахматным, красно - черным) упорядочением узлов.

    Решение. Заметим, что при расчетах белые узлы соседствуют только с черными, и наоборот. Тогда с учетом этого расчетные формулы будут для всех белых узлов

    \frac{u_{m - 1, l}^{i} + u_{m, l - 1}^{i}}{h^2} + \frac{u_{m, l + 1}^{i} + u_{m + 1, l}^{i}}{h^2} -  \frac{4}{h^2} \left[\frac{u_{ml}^{i + 1}}{\tau} + 
(1 - \frac{1}{\tau})u_{ml}^{i}\right] = f_{ml},

    а для всех черных

    \frac{u_{m - 1, l}^{i + 1} + u_{m, l - 1}^{i + 1}}{h^2} + 
 \frac{u_{m, l + 1}^{i + 1} + u_{m + 1, l}^{i + 1}}{h^2} -  \frac{4}{h^2} \left[\frac{u_{ml}^{i + 1}}{\tau} + (1 - \frac{1}{\tau})u_{ml}^{i}\right] = f_{ml},

    Последовательность вычислений для такого варианта будет несколько отличаться от первоначальной формулировки метода релаксаций. Сначала ищется значение на следующей итерации для всех белых узлов, затем — для черных. Такой итерационный метод очевидным образом связан со схемой "классики" для решения параболических уравнений.

  2. Пусть число внутренних узлов равно 9. Выписать в матричном виде сеточные уравнения при классической формулировке схемы "крест" и для случая черно - белого упорядочения узлов. Для простоты рассмотреть вариант, когда значения функции на границе области равны нулю.

    Решение.

    В "классическом" варианте сеточная система есть

    - {\mathbf{Au}} = {\mathbf{f}},

    где

    \begin{gather*}  {\mathbf{A}} = \left( \begin{array}{ccccccccc}
   4 & {- 1} & 0 & {- 1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
   {- 1} & 4 & {- 1} & 0 & {- 1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
   0 & {- 1} & 4 & {- 1} & 0 & {- 1} & 0 & 0 & 0 \\ 
   {- 1} & 0 & {- 1} & 4 & {- 1} & 0 & {- 1} & 0 & 0 \\ 
   0 & {- 1} & 0 & {- 1} & 4 & {- 1} & 0 & {- 1} & 0 \\ 
   0 & 0 & {- 1} & 0 & {- 1} & 4 & {- 1} & 0 & {- 1} \\ 
   0 & 0 & 0 & {- 1} & 0 & {- 1} & 4 & {- 1} & 0 \\ 
   0 & 0 & 0 & 0 & {- 1} & 0 & {- 1} & 4 & {- 1} \\ 
   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {- 1} & 0 & {- 1} & 4 \\ 
\end{array} \right) \\ 
{\mathbf{u}} = (u_{11}, u_{12}, u_{13}, u_{21}, u_{22}, u_{23}, u_{31}, u_{32}, u_{33})^{T}, \\ 
{\mathbf{f}} = - h^2 (f_{11}, f_{12}, f_{13}, f_{21}, f_{22}, f_{23}, f_{31}, f_{32}, f_{33})^{T},   \end{gather*}

    а в случае черно - белого упорядочения узлов сетки

    - {\mathbf{Au}} = {\mathbf{f}},

    где

    \begin{gather*}  {\mathbf{A}} = \left( \begin{array}{ccccccccc}
   4 & 0 & 0 & 0 & 0 & {- 1} & {- 1} & 0 & 0 \\ 
   0 & 4 & 0 & 0 & 0 & {- 1} & 0 & {- 1} & 0 \\ 
   0 & 0 & 4 & 0 & 0 & {- 1} & {- 1} & {- 1} & {- 1} \\ 
   0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & {- 1} & 0 & {- 1} \\ 
   0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & {- 1} & {- 1} \\ 
   {- 1} & {- 1} & {- 1} & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 
   {- 1} & 0 & {- 1} & {- 1} & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 
   0 & {- 1} & {- 1} & 0 & {- 1} & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 
   0 & 0 & {- 1} & {- 1} & {- 1} & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 
\end{array} \right) \\ 
{\mathbf{u}} = (u_{11}, u_{13}, u_{22}, u_{31}, u_{33}, u_{12}, u_{21}, u_{23}, u_{32})^{T}, \\ 
{\mathbf{f}} = - h^2 (f_{11}, f_{13}, f_{22}, f_{31}, f_{33}, f_{12}, f_{21}, f_{23}, f_{32})^{T} .  \end{gather*}