НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 7: Понятие о методах конечных элементов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1275 / 290 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Лекция дает первое представление о классе методов конечных элементов. Приводятся вариационная и проекционная постановки задачи. Рассматривается применение МКЭ к стационарным и нестационарным задачам. Вкратце обсуждаются вопросы устойчивости методов конечных элементов при решении нестационарных задач. Рассматривается общая схема применения методов конечных элементов к решению многомерных задач математической физики

Ключевые слова: метод конечных элементов, метод Галеркина, метод Ритца, функции с финитным носителем, базисные функции, пространство, значение, доказательство, функция, минимум, базис, отрезок, индекс, ПО, линейная комбинация, полином, матрица, разбиение, производные, обобщенная функция, класс, вариационная формулировка, запись, функциональное пространство, Произведение, равенство, невязка, матричная форма, дифференциальное уравнение, интегрирование, коэффициенты, выражение, согласованный базис, список, сходимость, конечные, график, метод прогонки, обыкновенное дифференциальное уравнение, устойчивость, вектор, неравенство, линеаризация

Основная идея метода конечных элементов, базирующаяся на методах Бубнова, Галеркина и Ритца, была предложена Р.Курантом в 1943 г., но осталась незамеченной, опередив потребности практики. В 50 - х годах прошлого века с появлением первых компьютеров возникла необходимость в разработке новых инженерных подходов к численному решению задач со сложной геометрией, в которых области интегрирования разбивались на подобласти. Такие подобласти ( носители финитных базисных функций, об этом ниже) и получили название конечных элементов.

Рис. 7.1.

Методы конечных элементов (МКЭ) в настоящее время, пожалуй, самые распространенные в мире численные методы. К их достоинствам относятся:

возможность счета на неравномерных сетках, в двумерном и трехмерном случаях для областей сложной геометрии;
"технологичность" методов (уточнение далее).

Современные МКЭ возникли в 50 - е годы XX века при решении задач теории упругости.

Самая распространенная статическая задача — задача о нагруженной конструкции

$\Delta u = - 2, u \left|_{\partial \Omega }\right. = 0,$

а область $\Omega$ — сложная. Например, область может иметь вид, представленный на рис. 7.1. Каждая простая подобласть — конечный элемент.

В настоящее время под МКЭ понимают целые семейства вариационных ( Ритца ) и проекционных ( Галеркина или Бубнова - Галеркина ) методов.

7.1. Вариационный подход Ритца

Рассмотрим две задачи:

$\begin{gather*} {\hat{L}_1 u(x) \equiv - (k(x) u^{\prime}_x (x)) ^{\prime}_x + p(x)u(x) = f(x), }\\ u(0) = a; \quad u(X) = b; \\ k(x) \ge k_0 > 0; \quad p(x) \ge 0. \\ \end{gather*}$

( 7.1)

$\begin{gather*} {\hat{L}_2 u(x, y) \equiv - div (k(x, y){grad} u(x, y)) + p(x, y)u(x, y) = g(x, y), } \\ u \left| {_{{\partial}\Omega }}\right. = {\psi}(l); \\ k(x, y) \ge k_0 > 0; \quad p(x, y) \ge 0. \end{gather*}$

( 7.2)

Эти задачи похожи: (7.1) является одномерным случаем более общей задачи (7.2). Уравнения (7.1) и (7.2) записаны в самосопряженной форме. Поставим задачам (7.1) и (7.2) в соответствие функционалы

${I_1 (u) = \int\limits_0^{X}{(k(u^{\prime}_x )^2 + pu^2 - 2fu)dx}}$

( 7.3)

и

${I_2 (u) = \iint\limits_{\Omega} (k(\nabla u, \nabla u) + pu^2 - 2gu)dxdy.}$

( 7.4)

Будем рассматривать пространство функций ${w} \in W_2^1$ (пространство Соболева) с нормой

$\begin{gather*} \|w \|_{W_2^1}^2 = \int\limits_0^{X}{(w^2 + (w^{\prime}_x )^2 )dx} \quad \mbox{для одномерного случая, } \\ \|w \|_{W_2^1}^2 = \iint\limits_{\Omega} w^2 dxdy + \iint\limits_{\Omega}{\left(\frac{{\partial}w}{{\partial}x}\right)}^2 + {\left(\frac{{\partial}w}{{\partial}y}\right)}^2 dxdy \quad\\ \mbox{для двумерного случая.} \end{gather*}$

Это — функции с ограниченным интегралом.

Теорема 5. Среди всех функций ${w} \in W_2^1$ , удовлетворяющих граничным условиям, решение задачи (7.1) придает наименьшее значение функционалу (7.3), а решение (7.2) — функционалу (7.4).

Доказательство.

Докажем это утверждение для одномерного случая, а доказательство для уравнений (7.2), (7.4) оставим в качестве упражнений.

Введем $\xi (x) \equiv w(x) - u(x)$ . Поскольку ${w}(x) \in W_2^1$ , а u(x) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, то $\xi (x) \in W_2^1$ и $\xi (0) = \xi (X) = 0$ .

$\begin{gather*} I_1 (w) = I_1 (u(x) + \xi (x)) = \\ = I_1 (u) + \int\limits_0^{X}{(k(\xi^{\prime}_x )^2 + p \xi ^2 - 2f \xi )dx} + \int\limits_0^{X}{2(ku^{\prime}_x \xi^{\prime}_x + p \xi u)dx} = \\ = I_1 (u) + \int\limits_0^{X}{(k(\xi^{\prime}_x )^2 + p \xi ^2 )dx} + \int\limits_0^{X}{2 \xi (pu - f)dx} + 2 \int\limits_0^{X}{ku^{\prime}_x \xi^{\prime}_x dx} = \\ = I_1 (u) + J(\xi ) + 2ku^{\prime}_x \xi \left| \begin{array}{l} X \\ 0 \\ \end{array}\right. + \int\limits_0^{X}{2 \xi (- (ku^{\prime}_x ) ^{\prime}_x + pu - f)dx, } \\ \mbox{где }{J(\xi ) \equiv \int\limits_0^{X}{(k(\xi^{\prime}_x )^2 + p \xi ^2 )dx} \ge 0.} \end{gather*}$

( 7.5)

Третье слагаемое в (7.5) равно нулю в силу граничных условий для функции $\xi$ ; последнее слагаемое равно нулю, так как u — решение (7.1); второе слагаемое — неотрицательное. Следовательно, минимум функционала I₁(w) достигается, когда $J(\xi ) = 0$ , т. е. $\xi \equiv 0$ или, что то же самое, w(x) = u(x) .

Чуть сложнее эта теорема доказывается для двумерного случая, где надо воспользоваться теоремой Остроградского - Гаусса. Таким образом, решение соответствующей задачи в частных производных (7.2) или краевой задачи для ОДУ (7.1) сводится к задаче минимизации некоторого функционала.

В том случае, если функционал (7.3) или (7.4) ограничен снизу, то экстремаль функционала — минимум, и численный метод, который будет построен ниже, носит название метода Ритца. Чаще, когда нет необходимости тщательно исследовать постановку задачи, говорят об экстремальной точке, стационарной точке функционала и т.д.

Дальше >>

Авторизоваться

Численные методы решения уравнений в частных производных

Понятие о методах конечных элементов

7.1. Вариационный подход Ритца

Вопросы и ответы