Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1279 / 290 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Специальности: Математик

Лекция 1: Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость

Лекция 1: 1234567891011 || Лекция 2 >

1.2 Основные определения — сходимость, аппроксимация, устойчивость

1.2.1. Основные определения.

Дадим основные определения из теории разностных схем.

Пусть {\mathbf{L}}u = F и {\mathbf{L}}_{\tau}  u_{\tau} = 
F_{\tau} — операторные обозначения исходной дифференциальной и аппроксимирующей ее разностной задачи (точнее, параметрического семейства задач); \mathbf{L} и \mathbf{L}_{\tau} — соответственно, дифференциальный и разностный операторы, u \in \Omega , u_{\tau} \in \Omega_{\tau} — решения дифференциального и разностного уравнений , принадлежащие соответствующим функциональным пространствам, F \in \omega , F_{\tau} \in \omega_{\tau} — правая часть исходного уравнения и ее проекция на расчетную сетку. Считается известным способ получения проекции непрерывной функции на сетку. В простейшем случае используются значения функции, вычисленные в узлах сетки. Индекс \tau в этой операторной записи указывает на всю совокупность сеточных параметров. Можно сказать, что для дискретной задачи имеется не один оператор, а совокупность различных операторов , зависящих от набора параметров.

Например, задачу Коши для линейного одномерного уравнения переноса

\begin{gather*}
 \frac{du}{dt} - \frac{du}{dx} = f (t , x), t \in [0, T], x \in [0, X],  \\ 
u (0, x) = {\varphi}(x), 
\end{gather*}

можно представить в виде

{\mathbf{L}}u = F.

Здесь

\begin{gather*}
\mathbf{L}u = \left\{ \begin{array}{cc}
{\frac{du}{dt} - \frac{du}{dx}, }& {t > 0} \\ 
{u (0, x), } & {t = 0} \\ 
\end{array} \right.  \\ 
F(t , x) = \left\{ \begin{array}{cc}
{f(t , x), } & {t > 0} \\ 
{{\varphi}(x), } & {t = 0} \\ 
\end{array} \right.
\end{gather*}

Одна из аппроксимирующих эту задачу разностных схем (правый уголок) имеет вид

\begin{gather*}
 \frac{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}{\tau} - \frac{u_{m + 1}^{n} - u_m^{n}}{h} = f_m^{n}, 
n = 0, \ldots , N - 1 , m = 0, \ldots , M - 1 ,  \\ 
u_m^0 = \varphi_m^0, 
\end{gather*}

или в операторной форме

{\mathbf{L}}_{\tau} u_{\tau} = F_{\tau}

где

\begin{gather*}
{\mathbf{L}}_{\tau} u_{\tau} = \left\{ \begin{array}{l}
 \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} -  \frac{{u_{m + 1}^{n} - u_m^{n}}}{h}, \\ 
 u_m^0, \\ 
\end{array} \right.  \\ 
F_{\tau} = \left\{ \begin{array}{l}
 f_m^{n}, \\ 
 \varphi_m . \\ 
\end{array} \right.
\end{gather*}

Определение 1. Говорят, что решение u_{\tau } сходится к решению при {\tau}\to 0, если \left\| {{u}_{\tau} - {{U}}_{\tau}}\right\| \to 0, где U_{\tau } — проекция точного решения на разностную сетку; причем, если имеет место оценка \left\| {{u}_{\tau} - {U}_{\tau}}\right\| \le c{\tau}^{p}, {c \ne c({\tau})}, то сходимость имеет порядок p.

В качестве примера исследуем на сходимость разностную схему для задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (схема Эйлера)

$  
 \frac{u_{n + 1} - u_n}{\tau} + {\lambda}u_n = 0,   \quad u_0 = a ,    $

аппроксимирующую простейшее ОДУ

$  
 \frac{du}{dt} + {\lambda}u = 0, t \in [0, 1], u(0) = a.   $

Из разностного уравнения

u_{n} = (1 - \lambda \tau )u_{n - 1}

найдем его общее решение:

u_n = a(1 - {\lambda}{\tau})^{n}, \quad \mbox{или} \quad u_n = a(1 - {\lambda}{\tau})^{t_n /{\tau}}.

Решение дифференциальной задачи легко находится:

u(t) = ae^{ - \lambda t}.
Лекция 1: 1234567891011 || Лекция 2 >