Форма обучения:
дистанционная
Стоимость самостоятельного обучения:
бесплатно
Доступ:
свободный
Документ об окончании:
 
Уровень:
Для всех
Длительность:
26:06:00
Студентов:
1079
Выпускников:
48
Курс знакомит с числовыми множествами, последовательностями и функциями.
В начале курса даются основные понятия теории множеств, изучаются основные числовые множества, вводится понятие верхней и нижней грани. Вводится понятие числовой последовательности и её предела, изучаются вопросы сходимости. Далее даётся понятие функции, её предела в точке, в бесконечности. Изучаются свойства функций, имеющих предел. Рассматриваются бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Вводится понятие непрерывности функции, точки разрыва, их классификация. Изучаются свойства непрерывных функций. Также рассматривается геометрический смысл производной, даётся определение касательной, вопросы дифференцируемости функции, вычисляются производные сложной функции, обратной функции, основных элементарных функций. Вводятся понятия производной и дифференциала высших порядков и доказываются теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях. Рассматриваются вопросы раскрытия неопределённостей с помощью правила Лопиталя, формулы Тейлора и Маклорена. Даётся схема построения графика функции.
Специальности: Математик
 

План занятий

Занятие
Заголовок <<
Дата изучения
Действительные числа и множества
Вводится понятие множества. Даётся определение действительных чисел, модуля (абсолютной величины) и числовой прямой. Вводится понятие точной верхней и нижней грани множества.
Оглавление
-
Числовая последовательность и ее предел
Дается определение числовой последовательности и её предела. Рассматривается геометрический смысл предела последовательности, доказываются единственность предела, арифметические свойства предела и предельные переходы в неравенствах. На примерах разбираются некоторые приёмы вычисления пределов.
-
Сходимость числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие поcледовательности. Число е
Изучаются вопросы сходимости последовательности. Вводится понятия ограниченной и монотонной последовательности. Дается определение бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, а также рассматриваются их свойства. Вводится число е.
Оглавление
-
Тест 3
42 минуты
-
Множества. Метод математической индукции
Решаются задачи, связанные с понятием множества, подмножества, операций над множествами. Рассматриваются счётные множества. Определяются точные верхние и нижние грани множества. Решаются задачи, связанные с понятием действительного числа и его модуля. С помощью метода математической индукции доказываются некоторые утверждения.
-
Числовая последовательность и ее предел
Решаются задачи, связанные с понятием числовой последовательности и ее предела. Вычисляются пределы различных последовательностей, в том числе методами "деления на наибольшую степень" и "умножения на сопряженное". Рассматривается вопрос сходимости некоторых последовательностей.
-
Функция. Предел функции в точке и бесконечности. Теоремы о пределах
Вводится понятие функции, рассматриваются способы задания функций. Даются определения предела функции в точке по Коши и по Гейне и в терминах окрестностей. Доказываются теоремы о единственности предела, об ограниченности функции, имеющей предел , о переходе к пределу в неравенствах и пределе промежуточной функции. Даётся определение предела функции в бесконечности.
Оглавление
-
Тест 4
21 минута
-
Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Арифметические свойства пределов
Вводится понятие бесконечно малых функций (б.м.ф.). Рассматриваются их свойства: сумма б.м.ф., произведение б.м.ф. на ограниченную и др. Доказываются арифметические свойства пределов. Вводится понятие бесконечно большой функции и устанавливается связь между б.б.ф. и б.м.ф.
Оглавление
-
Тест 5
33 минуты
-
Непрерывность функции. Основные элементарные функции. Замечательные пределы. Операции над непрерывными функциями
Вводятся различные определения непрерывности функции в точке, устанавливается связь между ними. Изучаются локальные свойства непрерывных функций. Рассматриваются основные элементарные функции и доказывается их непрерывность на примере функции cos x. Вычисляются замечательные пределы и рассматриваются операции над непрерывными функциями. Вводится понятие сложной функции и изучается её непрерывность.
Оглавление
-
Тест 6
24 минуты
-
Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Вводится понятие точек разрыва функции и даётся их классификация. Рассматривается непрерывность справа и слева, на интервале и на отрезке. Изучаются свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о нуле функции, о промежуточных значениях, теоремы Вейерштрасса.
Оглавление
-
Тест 7
21 минута
-
Равномерная непрерывность. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентность. Символы о и О
Вводится понятие равномерной непрерывности и изучается ее связь с непрерывностью. Для бесконечно малых функций вводятся понятие порядка и эквивалентности. Доказываются теорема о замене бесконечно малых функций на эквивалентные и условие эквивалентности. Вводятся символы Ландау и изучаются асимптотические формулы.
-
Предел функции
Доказывается существование предела функции с помощью определения Коши. Вычисляются пределы функций, применяя теорему об арифметических свойствах предела. Раскрываются неопределенности с помощью разложения на множители, деления на наибольшую степень, умножения на сопряженное выражение, введения новой переменной. Решаются задачи с использованием замечательных пределов.
-
Предел функции. Замечательные пределы
Вычисляются пределы степенно-показательных функций, пределы на бесконечности. При решении используются замечательные пределы и теорема о замене бесконечно малых функций на эквивалентные.
-
Сравнение бесконечно малых функций. Асимптотические формулы
Определяется порядок бесконечно малых функций. Доказывается эквивалентность бесконечно малых функций. Вычисляются пределы функций с помощью асимптотических формул.
-
Непрерывность, точки разрыва. Решение уравнений и неравенств
Доказывается непрерывность функций, используя различные определения. Исследуются функции на непрерывность, определяются точки разрыва и их характер. Решаются задачи о нахождении корней уравнения с помощью теоремы Больцано-Коши. Методом интервалов решаются неравенства.
-
Производная. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции
Вводится понятие производной функции в точке, рассматривается её геометрический и физический смысл. Даются определение касательной и нормали к кривой и выводятся их уравнения. Понятия правой и левой производной функции в точке, бесконечной производной, гладкой функции рассматриваются на примерах. Вводится понятие дифференцируемой в точке функции, рассматривается связь дифференцируемости и существования производной. Доказывается непрерывность дифференцируемой функции. Даётся определение дифференциала функции и рассматривается его геометрический смысл.
Оглавление
-
Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные некоторых основных элементарных функций. Дифференцирование сложной функции
Даются правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Вычисляются производные функций Доказывается правило дифференцирования сложной функции и рассматривается инвариантность формы дифференциала.
-
Тест 10
24 минуты
-
Понятие обратной функции. Производная обратной функции. Производные гиперболических функций. Логарифмическое дифференцирование. Применение дифференциалов в приближённых вычислениях
Вводится понятие обратной функции и формулируется правило её дифференцирования. Вычисляются производные функций , а также гиперболических функций. Составляется таблица производных основных элементарных функций. Рассматривается приём логарифмического дифференцирования для отыскания производной сложной функции. Выводится формула для приближённого вычисления значения функции.
-
Тест 11
21 минута
-
Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Вектор-функция скалярного аргумента
Вводится понятие производной высшего порядка, определяются правила вычисления производных суммы и произведения функций. Даётся определение дифференциала высшего порядка и выводится его связь с производными. Рассматриваются функции, заданные параметрически, изучается вопрос их дифференцирования. Вводится понятие вектор-функции скалярного аргумента, её предела и непрерывности. Рассматривается производная вектор-функции по её аргументу. Формулируются правила дифференцирования.
Оглавление
-
Тест 12
24 минуты
-
Производная. Правила и формулы дифференцирования
Вычисляются производные функций по определению. Вычисляются производные функций с помощью арифметических правил и таблицы производных элементарных функций. Вычисляются производные сложных функций.
-
Правила и формулы дифференцирования. Геометрический и физический смысл производной
Вычисляются производные степенно-показательных функций. Строятся касательные и нормали к графикам функции в точках, находится угол пересечения между кривыми. Решаются задачи, связанные со скоростью.
-
Формула Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
Выводится формула Тейлора для многочлена степени n, дается определение формулы Маклорена для многочлена. Вводится понятия формулы Тейлора для функции и вычисляется остаточный член в форме Лагранжа. Рассматривается остаточный член в форме Пеано. Раскладываются по формуле Маклорена некоторые элементарные функции. Получение асимптотических оценок для элементарных функций из формулы Маклорена.
-
Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции
Дается определение монотонной функции и доказывается связь между интервалами знакопостоянства производной и монотонности функции. Изучаются достаточные условие возрастания функции в точке. Вводятся понятия локального экстремума, максимума и минимума. Рассматриваются необходимое и достаточное условия эстремума Проводится исследование функций на максимум и минимум при помощи второй производной.
Оглавление
-
Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных
-
1 час 40 минут
-
Андрей Кирьяков
Андрей Кирьяков

Лекция 3 17:38 и 17:39  дано неправильное определение строго убывающей и строго возрастающей последователности.

Илья Дмитриев
Илья Дмитриев

1. исходя из ПРЕДСТАВЛЕННЫХ лекций (практик, етц) совершенно не ясно какое значение выбирать в качестве х_0 !.  Процесс ПОДБОРА НЕ изложен. Подсмотрел на других сайтах.

2. Не ясно почему F (X_0) должно получаться ЦЕЛЫМ (как это в примерах неоднократно представлено), а не ДРОБНЫМ, например.

( мат.анализ-1 )