Тверской государственный университет
Опубликован: 03.10.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 3242 / 54 | Оценка: 4.33 / 3.83 | Длительность: 19:48:00
ISBN: 978-5-9963-0573-5
Лекция 6:

Логики вполне достаточно

Аннотация: Первая часть лекции вводит булеву алгебру в форме пропозиционального исчисления, которое имеет дело с базисными высказываниями, включающими специфические переменные. Вторая часть расширяет обсуждение до логики предикатов, позволяющей выражать свойства произвольного множества значений. Помимо классических логических операций рассматриваются полустрогие операции, учитывающие особенности применения булевских операций в программировании.
Ключевые слова: программирование, степень связи, ветвление, вывод, законы логики, угроза, доказательство, ПО, предусловие, булевское выражение, операции, SMS, высказывание, ветвь, информатика, множества, алгебра, значение, истинностное значение, ложь, подвыражение, вычисленное значение, операнд, eiffel, значение выражения, таблица истинности, исключающее ИЛИ, симметрия, конъюнкция, дизъюнкция, assign, интерпретация, тавтология, непротиворечивость, коммутативность, эквивалентное выражение, рефлексивность, подстановка, отрицание, дистрибутивность, арифметическое выражение, ассоциативность, терм, ясность, приоритет операций, импликация, здравый смысл, словосочетание, логические операции, инверсия, boolean, запрос, булевский тип, end-station, выражение, вычисление, неопределенное значение, вычисление выражения, захват, overkill, путь, принятия решений, транслятор, семантика, истина, объект, предикат, квантор существования, фигурные скобки, квантор всеобщности, элемент множества, Законы де Моргана, фальсификация, member, edition, CRC, ARIS, correct, исчисление предикатов, неравенство, XOR, нумерация, оптимальная стратегия, undefined

Программирование в значительной степени связано с доказуемостью, с выводимостью. Мы должны иметь возможность понимать совсем не простое, проходящее через множество ветвлений поведение программ во время их выполнения. Человек физически не в состоянии проследить за мириадами базисных операций, выполняемых компьютером.

В принципе, все может быть выведено из текста программы простыми рассуждениями. Если бы существовала наука выводимости, она оказала бы нам существенную помощь.

Можно радоваться: есть такая наука – это логика. Логика – это механизм, стоящий за способностью человека делать выводы. Когда нам говорят, что Сократ – человек и все люди смертны, то без раздумья мы заключаем, что Сократ смертен. Сделать этот вывод нам помогли законы логики. Пусть справедливо утверждение: "Если температура в городе поднимается выше 30 градусов, то возникает угроза загрязнений". Кто-то говорит, что поскольку сегодня температура достигла только 28 градусов, угрозы загрязнений нет; мы скажем про такого человека, что его логика "хромает".

Логика – основа математики. Математики доверяют доказательствам в пять строчек или доказательствам, растянутым на 60 страниц, только потому, что каждый шаг доказательства выполнен в соответствии с правилами логики.

Логика – основа разработки ПО. Уже в предыдущей лекции мы познакомились с условиями в контрактах, связанных с нашими классами и методами, например, в предусловии: "i должно быть между 1 и count". Мы будем также использовать условия, выражая действия, выполняемые программой, например: "Если i положительно, то выполни этот оператор".

Мы уже видели при изучении контрактов, что такие условия появляются в наших программах в форме "булевских выражений". Булевское выражение может быть сложным, включающим, например, операции "not", "and", "or", "implies". Это соответствует выводам, характерным для естественного языка: " Если пройдет 20 минут после назначенного срока, и она не позвонит или не пришлет SMS, то следует, что она не появится совсем". Интуитивно мы прекрасно понимаем, что означает это высказывание, и этого понимания вполне достаточно и для условий, применяемых в ПО.

Но до определенных пределов. Разработка ПО требует доказуемости, а точные выводы требуют законов логики. Поэтому, прежде чем вернуться к нашим дорогим объектам и классам, следует более тесно познакомиться с законами логики.

Логика – математическая логика, если быть более точным, – самостоятельная наука, таковой является и ее ветвь "Логика в информатике", которой посвящены многие учебники и отдельные курсы. Я надеюсь, что такой курс вами уже пройден или будет пройден. Эта лекция вводит основные понятия логики, необходимые в программировании. Хотя логика пользуется заслуженной славой как наука о выводимости, нам она нужна для более ограниченных целей – для понимания той части выводимости, которая базируется на условиях. Логика даст нам прочную основу для выражения и понимания условий, появляющихся в контрактах и в операторах программы.

Первая часть лекции вводит булеву алгебру в форме пропозиционального исчисления, которое имеет дело с базисными высказываниями, включающими специфические переменные. Вторая часть расширяет обсуждение до логики предикатов, позволяющей выражать свойства произвольного множества значений.

5.1. Булевские операции

Условие в булевой (булевской) алгебре, так же как и в языках программирования, выражается в виде булевского выражения, построенного из булевских переменных и операций. Результатом вычисления булевского выражения является булевское значение.

Булевские значения, переменные, операции, выражения

Существуют ровно две булевские константы (boolean constants), также называемые "булевскими или истинностными значениями", которые будем записывать в виде True и False для совместимости с нашим языком программирования, хотя логики часто пишут просто T и F, а электротехники предпочитают обозначать их как 1 и 0.

Булевская переменная задается идентификатором, обозначающим булевское значение. Типично мы используем булевскую переменную, чтобы выразить свойство, которое может иметь в качестве значения истину или ложь. Говоря о погоде, мы могли бы ввести переменную rain_today, чтобы задать свойство, говорящее нам, будет ли сегодня идти дождь.

Начав с булевских констант и переменных, мы можем затем использовать булевские операции для получения булевских выражений. Например, если rain_today и cuckoo_sang_last_night ("дождь сегодня" и "кукушка куковала сегодня ночью") являются булевскими переменными, то булевскими выражениями в соответствии с изучаемыми ниже правилами будут:

  • rain_today – булевская переменная сама по себе без всяких операций является булевским выражением (простейшая форма наряду с булевскими константами);
  • not rain_today – используется булевская операция not;
  • (not cuckoo_sang_last_night) implies rain_today – используются операции not и implies, а также скобки для выделения подвыражений.

Каждая булевская операция, такая как not, or, and, =, implies, задает правила вычисления значения результирующего выражения по заданным значениям ее операндов.

В языке программирования булевские операции, подобно булевским константам, задаются ключевыми словами. В математических текстах знаки операций обычно задаются отдельными символами, не все из которых присутствуют на клавиатуре компьютера. Приведем соответствие между ключевыми словами и общеупотребительными символами в математике:

Ключевое слово Eiffel Общеупотребительные математические символы
not ¬ или ~
or ∨ или |
and ∧ или &
= ↔ или =
implies =>

В Eiffel булевские константы, переменные и выражения имеют тип BOOLEAN, определенный классом, подобно всем типам. Класс BOOLEAN является библиотечным классом, доступным для просмотра в EiffelStudio; там вы можете увидеть все булевские операции, обсуждаемые в этой лекции.

Отрицание

Рассмотрим первую операцию – not. Для формирования булевского выражения с not укажите эту операцию с последующим булевским выражением. Это выражение может быть булевской переменной, как в not your_variable; или может быть сложным выражением (заключенным в скобки для устранения двусмысленности), как в следующих примерах, где a и b являются булевским переменными:

  • not (a or b).
  • not (not a)

Для произвольной булевской переменной a значение not a есть False, если значение a есть True, и True, если значение aFalse, мы можем выразить свойства операции not следующей таблицей:

a not a
True False
False True

Это так называемая таблица истинности (truth table), которая является стандартным способом задания булевских операций – в первых столбцах (для данной операции один столбец) задаются все возможные значения операндов операции, в последнем столбце задается соответствующее данному случаю значение выражения.

Операция not задает отрицание – замену булевского значения его противоположностью, где True и False противоположны друг другу.

Из таблицы истинности следуют важные свойства этой операции.

Теоремы: "Свойства отрицания"

Для любого булевского выражения e и любых значений входящих в него переменных:
  • точно одно из выражений e или not e имеет значение True;
  • точно одно из выражений e или not e имеет значение False;
  • только одно из выражений e или not e имеет значение True (принцип исключенного третьего);
  • Либо e, либо not e имеет значение True (принцип непротиворечивости)

Доказательство: по определению булевского выражения, e может иметь только значение True или False. Таблица истинности показывает, что если e имеет значение True, то not e будет иметь значение False; все четыре свойства являются следствиями этого факта (и два последних утверждения следуют непосредственно из первого).

Дизъюнкция

Операция or использует два операнда в отличие от операции not. Если a и b являются булевскими выражениями, булевское выражение a or b имеет значение True, если и только если либо a, либо b имеют это значение. Соответственно, оно имеет значение False, если и только если оба операнда имеют это значение. Это отражает следующая таблица истинности:

a b a or b
True True True
True False True
False True True
False False False

Первые два столбца перечисляют все четыре возможные комбинации значений a и b.

Слово "or" заимствовано из естественного языка в его неисключительном смысле, как в предложении "Тот, кто придумал эту инструкцию, глуп или слеп", что не исключает, что оба случая могут иметь место.

Обычный язык часто использует "или" в исключающем смысле, означающее, что только один результат может быть истинным, но не оба вместе: "Что будем заказывать – красное или белое?". Здесь речь идет о другой булевской операции – "исключающему или" – "xor" в Eiffel, чьи свойства следует изучить самостоятельно.

Неисключающая операция or называется дизъюнкцией. Это не очень удачное имя, поскольку позволяет думать об исключающей операции, но в нем есть свое преимущество, благодаря симметрии с "конъюнкцией" – именем следующей операции and.

Дизъюнкция имеет значение False только в одном из четырех возможных случаев, заданном последней строкой таблицы истинности.

Теорема: "Принцип дизъюнкции"

Дизъюнкция or имеет значение True, за исключением случая, когда оба операнда имеют значение False.

Таблица истинности показывает, что операция or является коммутативной: для любых a и b значение a or b то же, что и b or a. Это также вытекает из принципа дизъюнкции.

Ирина Калашникова
Ирина Калашникова

Добрый день, подскажите на тест после каждой лекции сколько дается попыток? 

Наталья Король
Наталья Король

Что это значит?) Зранее спасибо)