Тверской государственный университет
Опубликован: 03.10.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 3245 / 55 | Оценка: 4.33 / 3.83 | Длительность: 19:48:00
ISBN: 978-5-9963-0573-5
Лекция 6:

Логики вполне достаточно

5.2. Импликация

Еще одна базисная операция, принадлежащая основному репертуару: импликация. Хотя она схожа с другими операциями not, or, and и эквивалентностью близка к операции or, она требует особого внимания, поскольку некоторым людям кажется, что ее точные свойства противоречат здравому смыслу и понятию следования в естественном языке.

Определение

Простейший способ определения операции implies состоит в том, чтобы выразить ее в терминах уже определенных операций or и not.

Определение: Импликация

Значение a implies b для любых булевских значений a и b является значением (not a) or b

Это временное определение. Позже будет дано еще одно определение.

Приведенное определение позволяет построить таблицу истинности (которая сама по себе может служить определением).

a b a implies b
True True True
True False False
False True True
False False True

Нетрудно видеть, что это таблица для or, в которой в столбце для a значения True и False поменялись местами. Результат a implies b истинен для всех истинностных присваиваний, за исключением одного случая, когда a равно True, а bFalse.

В импликации a implies b первый операнд a называется посылкой (antecedent), второй, b, – следствием или заключением (consequent).

Принципы, которые были установлены для конъюнкции и особенно для дизъюнкции, имеют прямой аналог и для импликации.

Теорема: "Принцип Импликации"

Импликация имеет значение True за одним исключением, когда посылка имеет значение True, а заключение – False.

Как следствие, она имеет значение True, когда выполняется одно из двух условий:

I1 посылка имеет значение False;

I2 заключение имеет значение True.

Связь с выводами

Имя операции "implies" (влечет) предполагает, что эту операцию можно использовать для вывода одних свойств из других. Это и в самом деле допустимо, что и устанавливается следующей теоремой.

Теорема: "Импликация и вывод"

I3 Если истинностное присваивание удовлетворяет как a, так и a implies b, то оно удовлетворяет и b.

I4 Если оба a и a implies b являются тавтологиями, b – также тавтология.

Доказательство: Для доказательства I3 рассмотрим истинностное присваивание TA, удовлетворяющее a. Если TA также удовлетворяет a implies b, то оно должно удовлетворять и b, так как в противном случае из второй строки истинностной таблицы False следовало бы, что a implies b равно False. Для доказательства I4 заметьте, что если a и a implies b являются тавтологиями, то предыдущий вывод распространяется на любое истинностное присваивание TA.

Это свойство делает законным обычную практику вывода. Когда мы хотим доказать истинность свойства b, то вводим более "сильное" свойство a и независимо доказываем истинность двух утверждений:

  • a;
  • a implies b.

Отсюда следует истинность b.

Использованный термин "сильнее" полезен в практике обоснования контрактов в программах и заслуживает точного определения.

Определения: сильнее, слабее

Для двух неэквивалентных выражений a и b мы говорим, что:
  • "a сильнее b", если и только если a implies b является тавтологией;
  • "a слабее b", если и только если b сильнее a.

Определения предполагают, что a и b не являются эквивалентными, поскольку некорректно говорить, что a "сильнее" b, если они одинаковы. Для случаев возможного равенства будем говорить "сильнее или эквивалентно", "слабее или эквивалентно" (подобно отношениям над числами "больше", "больше или равно").

Практическое ощущение импликации

Какова связь операции implies с обычным понятием следования, выражаемого в естественном языке таким словосочетанием, как "Если …, то…"?

В повседневном использовании импликация зачастую задает причинную связь: "Если лето будет солнечным, то это будет удачей для виноградников Бургундии" – это предполагает, что одно событие является причиной другого. В логике implies не ассоциируется с причинностью. Импликация просто устанавливает, что когда одно свойство является истинным, таковым должно быть и другое свойство. Приведенный пример допускает такую интерпретацию, если устранить всякий намек на причинность.

Вот еще один типичный пример (в аэропорту Лос-Анджелеса при попытке зарегистрироваться на рейс до Санта-Барбары): "Если на вашем билете напечатано "Рейс 3035", то сегодня вы не летите". Вероятно, причина отмены рейса связана с неисправностью самолета, и это был последний рейс на сегодняшний день. Понятно, что нет причинной связи между тем, что напечатано на билете, и отменой рейса. Логическая операция implies предусматривает такие сценарии.

Что удивляет многих людей, так это свойство I1 принципа импликации, следующие из двух последних строчек таблицы истинности. Когда a ложно, то a implies b истинно, независимо от значения b. Но на самом деле это соответствует обычной идее импликации:

  1. "Если я губернатор Калифорнии, то дважды два – пять";
  2. "Если дважды два – пять, то я губернатор Калифорнии";
  3. "Если дважды два – пять, то я не губернатор Калифорнии";
  4. "Если я губернатор Калифорнии, то дважды два – четыре";
  5. "Если я губернатор Калифорнии, то сегодня пойдет дождь";
  6. "Если сегодня пойдет дождь, то я не буду выбран губернатором Калифорнии".

Если я признаю, что я не губернатор и не собираюсь стать им, все импликации будут истинными, невзирая на сегодняшнюю погоду.

Из истинности импликации следует только то, что если посылка верна, то это же верно и для заключения. Единственной возможностью для импликации быть ложной является случай истинной посылки и ложного заключения. Случаи, когда посылка ложна или заключение истинно, не определяют импликацию полностью, оставляя возможность неопределенности второго операнда.

Начинающим иногда трудно принять, что a implies b может быть истинным, если a ложно. Во многом, я полагаю, трудности связаны со случаем, в котором a ложно, а b истинно, – таким, как случаи 1, 2, возможно, 5 и 6 из приведенного выше примера. Но ничего ошибочного в них нет. Непонимание может быть связано с общим искажением правил вывода, допускаемым некоторыми людьми. Из истинности импликации a implies b, и зная, что a не выполняется, они без раздумья полагают, что и b не выполняется! Вот типичные примеры:

  1. "Все профессиональные политики – коррупционеры. Я не политик, так что я не коррупционер, и вы должны голосовать за меня". Первое высказывание что-то утверждает о политиках, но оно не содержит информации о тех, кто политиками не является.
  2. "Всегда, когда я беру с собой зонтик, дождь не идет. Я оставлю свой зонтик дома, поскольку нам так нужен дождь". Шутка, конечно, но логика явно хромает.
  3. "Все недавно построенные здания в этом районе имеют плохую термоизоляцию. Это старое здание, так что в нем более комфортно в жаркие дни".

Каждый из случаев включает свойство a, которое влечет другое свойство b, и ошибочный вывод, что отрицание a влечет отрицание b. Это недопустимые выводы. Все, что мы знаем: если a верно, то и b верно. Если же a невыполнимо, то импликация нам ничего интересного не добавляет. Переходя на язык логики: ошибочно утверждение, что выражение является тавтологией. Более слабое утверждение также не является тавтологией. Задайте два истинностных присваивания, при которых оба утверждения принимают значения True и False и, следовательно, являются выполнимыми, но не являются тавтологиями.

(a implies b) = ((not a) implies (not b))
(a implies b) implies ((not a) implies (not b))
Ирина Калашникова
Ирина Калашникова

Добрый день, подскажите на тест после каждой лекции сколько дается попыток? 

Наталья Король
Наталья Король

Что это значит?) Зранее спасибо)