Лекция 4: Отслеживание движения и алгоритмы сопровождения ключевых точек

2.7. Применение фильтра частиц к задаче сопровождения

Для некоторых практических задач, чтобы получить более точную оценку состояния системы, необходимо уйти от предположения, что шум имеет Гауссово распределение [5]. В этом случае вводится понятие мультимодального распределения^{7Мультимодальным распределением называется распределение, имеющее несколько мод или локальных максимумов. Мультимодальное распределение зачастую представляется смесью нескольких распределений.} шума, а для моделирования подобных систем используются фильтры частиц. Фильтры частиц являются более общим подходом к решению задачи сопровождения с применением вероятностных методов [9, 21, 33, 35].

Алгоритм воспроизведения условной плотности (CONditional DENSity propAGATION, CONDENSATION) [21, 35] – базовый алгоритм фильтрации частиц, на основании которого строится большинство алгоритмов данной группы, применяемых в компьютерном зрении. Поэтому остановимся более детально на рассмотрении схемы работы именно этого алгоритма.

Предполагая, что система может находиться в состояниях , в момент времени получим плотность распределения вероятности. Так же, как и для фильтра Кальмана, последовательность наблюдений будем обозначать . Наряду с этим введем предположение о том, что состояние зависит только от предыдущего состояния – условие Марковской цепи. Таким образом, получаем систему с независимым набором наблюдений. Техники фильтрации частиц представляют распределение вероятности в виде коллекции взвешенных выборок – частиц, появление которых регулируется посредством введения весов. Тогда множество (4.60) определяет функцию плотности вероятности для состояния при заданном наборе наблюдений . задает приближенное распределение .

( 4.60)

Задача состоит в том, чтобы построить метод восстановления множества на основании . Формально алгоритм можно представить в виде последовательности этапов [9, 21, 35]:

1. Пусть коллекция взвешенных выборок в момент времени построена (4.61).

   ( 4.61)

   Дополнительно вычислим интегральные веса согласно (4.62).

   ( 4.62)

2. Определим n-ый экземпляр выборки . Для этого случайным образом выберем число r из отрезка [0,1] и вычислим . Отсюда получаем текущую оценку состояния .
3. Выполним предсказание следующего состояния. Предсказание (4.63) выполняется аналогично фильтру Кальмана (4.40), разница лишь в том, что нет ограничений, связанных с линейностью системы и видом распределения шума.

   ( 4.63)

4. Выполним коррекцию. Используя текущее наблюдение и его распределение, необходимо установить вес полученного экземпляра согласно (4.64).

   ( 4.64)

5. Построим множество частиц , повторив шаги 2 – 4 -раз.
6. Нормализуем последовательность весов так, чтобы .
7. Вычислим наилучшую оценку для состояния , например, как линейную свертку полученного набора экземпляров выборки (4.65). Таким образом, фактически определим некоторую среднюю частицу.

   ( 4.65)

Описанный процесс можно проинтерпретировать графически (рис.4.8) с использованием понятия частицы. На входе итерации алгоритма имеется множество частиц (верхний уровень диаграммы). В результате N-кратного случайного выбора частиц из получается некоторый набор экземпляров (2-ой уровень сверху). Применение шага предсказания приводит к формированию множества оценочных состояний частиц (3-ий уровень), затем для каждой оценки выполняется коррекция на основании имеющихся наблюдений. Как следствие, создается множество частиц в следующий момент времени (последний уровень диаграммы).

Рис. 4.8. Итерация алгоритма воспроизведения условной плотности (CONDENSATION, [35])

3. Контрольные вопросы

1. В каких случаях схема вычитания фона в задаче определения движения работает неэффективно?
2. Докажите, что формула (4.25) справедлива, т.е. образ Фурье от корреляции пары функций равен произведению образу Фурье первой функции на комплексно-сопряженный образ второй функции.
3. Основное свойство аффинного преобразования?
4. Приведите примеры задач, в которых используется модель перспективной проекции (гомография).
5. Докажите справедливость формул (4.58) и (4.59).
6. Получите формулы вычисления матричного коэффициента Кальмана для случая равномерного движения.
7. Приведите схему построения фильтра Кальмана в случае одномерного состояния и наблюдения при некоторых фиксированных значениях и .