Лекция 13: Решение задач нелинейного программирования с ограничениями. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования
3. Метод барьерных поверхностей (метод Кэррола)
Если ограничения в задаче имеют вид чистых неравенств, т.е.
Как только одна из функций 
достигнет
своего предела ( ai или bi ),
штраф 
, т.е.
возникнет т.н. "барьер".
Метод был предложен Кэрролом, и получил название метода барьерных поверхностей (МБП) Кэррола.
При этом ограничения в виде равенств и неравенств всегда можно преобразовать в ограничения в виде чистых неравенств, если к величине ограничения добавить очень малое число (например, 10-5 ).
Рассмотрим действие данного метода на примере задачи оптимального проектирования контейнера.
Пусть требуется спроектировать контейнер в форме прямоугольного параллелепипеда объемом V=1м3. Желательно, чтобы при изготовлении контейнеров затрачивалось как можно меньше материалов. Чтобы его было удобно брать автопогрузчиком, ширина должна быть не менее 1,5 м.
Строим математическую модель контейнера.
1) Формируем вектор переменных 
.
Параметрами вектора переменных являются: длина x1, ширина x2
и высота x3 контейнера, т.е.
![\overline{X} = [x_1,x_2,x_3].](/sites/default/files/tex_cache/6a562bfdcde45b4efc5508425f4c5864.png) |
( 3.1) |
2) Строим целевую функцию 
. При
условии постоянства толщины стенок контейнера требование
минимизировать количество материала можно свести к минимизации
площади боковой поверхности контейнера.
Тогда
 |
( 3.2) |
3) Формируем ограничения.
Ограничение-равенство:
 |
( 3.3) |
 |
( 3.4) |
Упростим математическую модель контейнера. Ограничение – равенство (3.3) в задаче, благодаря своей простоте, позволяет уменьшить размерность задачи, т.е.
x3 = 1/x1x2 .
В результате параметр x3 можно исключить
из вектора проектных параметров, и из трехмерной задачи мы получим
двумерную. Тогда вектор будет иметь вид:
![\overline{X}=[x_1,x_2].](/sites/default/files/tex_cache/c4dc96f3ff30fb18e058eecaa8dd27df.png)
В результате, задача проектирования контейнера может быть сформулирована следующим образом:
Найти вектор ![\overline{X} = [x_1, x_2]](/sites/default/files/tex_cache/505084e2c0d569fc773d004788ff7a14.png)
, доставляющий
минимум целевой функции
В данной задаче барьерная функция может иметь вид:
Как только один из параметров x1 или x2 достигнет своего предела, штраф 
, т.е. возникнет
т.н. "барьер".
Штрафная функция в задаче проектирования контейнера будет иметь вид:
Для нахождения минимума этой штрафной функции (задача двумерная) может быть использован метод многомерной оптимизации.