Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3114 / 709 | Оценка: 4.34 / 4.12 | Длительность: 13:54:00
Специальности: Программист

Лекция 13: Решение задач нелинейного программирования с ограничениями. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования

< Лекция 12 || Лекция 13: 1234

3. Метод барьерных поверхностей (метод Кэррола)

Если ограничения в задаче имеют вид чистых неравенств, т.е.

a_i < g_i (\overline{X}) < b_i , \quad i=\overline{1,m} ,
то присоединенная функция может быть построена в виде так называемого барьера:
G(\overline{X}) = \sum_{i=1}^m \frac{1}{(b_i - g_i (\overline{X}))(g_i(\overline{X})-a_i)} .

Как только одна из функций g_i(\overline{X}) достигнет своего предела ( ai или bi ), штраф G(\overline{X})) \rightarrow \infty, т.е. возникнет т.н. "барьер".

Метод был предложен Кэрролом, и получил название метода барьерных поверхностей (МБП) Кэррола.

При этом ограничения в виде равенств и неравенств всегда можно преобразовать в ограничения в виде чистых неравенств, если к величине ограничения добавить очень малое число (например, 10-5 ).

Рассмотрим действие данного метода на примере задачи оптимального проектирования контейнера.

Пусть требуется спроектировать контейнер в форме прямоугольного параллелепипеда объемом V=1м3. Желательно, чтобы при изготовлении контейнеров затрачивалось как можно меньше материалов. Чтобы его было удобно брать автопогрузчиком, ширина должна быть не менее 1,5 м.


Строим математическую модель контейнера.

1) Формируем вектор переменных \overline{X}. Параметрами вектора переменных являются: длина x1, ширина x2 и высота x3 контейнера, т.е.

\overline{X} = [x_1,x_2,x_3]. ( 3.1)
Размерность задачи n=3.

2) Строим целевую функцию F(\overline{X}). При условии постоянства толщины стенок контейнера требование минимизировать количество материала можно свести к минимизации площади боковой поверхности контейнера.

Тогда

F(\overline{X}) = S(\overline{X}) = 2(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_1 x_3). ( 3.2)

3) Формируем ограничения.

Ограничение-равенство:

\text{Объем } V = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 1\text{м}^2 . ( 3.3)
Ограничение-неравенство:
\text{Ширина } x_2 \ge 1,5 \text{м}. ( 3.4)

Упростим математическую модель контейнера. Ограничение – равенство (3.3) в задаче, благодаря своей простоте, позволяет уменьшить размерность задачи, т.е.

x3 = 1/x1x2 .

В результате параметр x3 можно исключить из вектора проектных параметров, и из трехмерной задачи мы получим двумерную. Тогда вектор \overline{X} будет иметь вид:

\overline{X}=[x_1,x_2].
Целевая функция также упростится:
F(\overline{X}) = 2(x_1 x_2 + 1/x_1 + 1/x_2).
Ограничения будут иметь вид:
x_1 > 0, \quad x_2 \ge 1,5\text{м}.

В результате, задача проектирования контейнера может быть сформулирована следующим образом:

Найти вектор \overline{X} = [x_1, x_2], доставляющий минимум целевой функции

F(\overline{X}) = 2(x_1 x_2 + 1/x_1 + 1/x_2),
при ограничениях в виде неравенств
x_1 > 0, \quad x_2 \ge 1,5\text{м}.

В данной задаче барьерная функция может иметь вид:

G(\overline{X}) = \frac{1}{x_1 - 1,5} + \frac{1}{x_2} .

Как только один из параметров x1 или x2 достигнет своего предела, штраф G(\overline{X}) \rightarrow \infty, т.е. возникнет т.н. "барьер".

Штрафная функция в задаче проектирования контейнера будет иметь вид:

P(\overline{X},RC)=F(\overline{X})+RC \cdot G(\overline{X})
= 2 \left( x_1 \cdot x_2 + \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \right) 
+ RC \left( \frac{1}{x_1 - 1,5} + \frac{1}{x_2} \right).

Для нахождения минимума этой штрафной функции (задача двумерная) может быть использован метод многомерной оптимизации.

< Лекция 12 || Лекция 13: 1234