Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2918 / 623 | Оценка: 4.34 / 4.12 | Длительность: 13:54:00
Специальности: Программист

Лекция 8: Задача нелинейного программирования при ограничениях – неравенствах. Седловая точка и задача нелинейного программирования. Применение теоремы Куна – Таккера для задачи выпуклого программирования

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >

2. Седловая точка и задача нелинейного программирования

Рассмотрим функцию Лагранжа L(x, \Lambda)=f(x)+\sum_{i=1}^m \lambda_i g_i (x)

Определение 2.1. Пара векторов x^*, \Lambda^* называется седловой точкой функции Лагранжа L(x, \Lambda), если при всех \Lambda \ge 0, \; x \in R^n выполняется условие

L(x^*, \Lambda) \le L(x^*, \Lambda^*) \le L(x, \Lambda^*) ( 2.1)

Неравенство (2.1) называют неравенством для седловой точки. Очевидно, что в седловой точке выполняется условие

L(x^*, \Lambda^*) = \max_{A \ge 0} \min_{x \in R^n} L(x, \Lambda) = 
\min_{x \in R^n} \max_{A \ge 0} L(x, \Lambda) ( 2.2)

Между понятием седловой точки функции Лагранжа L(x, \Lambda) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i g_i (x) и решением задачи НП существует взаимосвязь, которая устанавливается в следующей теореме.

Теорема 2.1. Пусть f(x) и все gi(x) выпуклы и функции gi(x) удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Вектор x+ является решением задачи НП (1.1), (1.2) тогда и только тогда, когда существует такой вектор \Lambda^* \ge 0, что

L(x^*, \Lambda) \le L(x^*, \Lambda^*) \le L(x, \Lambda^*) ( 2.3)
и
\Lambda^{+T} g(x^*) = \sum_{i=1}^m \lambda_i^* g_i (x^*) = 0. ( 2.4)

Доказательство. Сначала докажем достаточность условий теоремы. Пусть (x^*, \Lambda^*) - седловая точка функции L(x, \Lambda). Тогда из правого неравенства (1.24) получим

L(x^*, \Lambda^*) = f(x^*) + 
\sum_{i=1}^m \lambda_i^* g_i (x^*) \le L(x, \Lambda^*) =
f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i^* g_i (x) ( 1.25)

Поскольку \lambda_i^* \ge 0, а g_i(x) \le 0, то \sum_{i=1}^m \lambda_i^* g_i (x) \le 0. Вместе с тем \sum_{i=1}^m \lambda_i^* g_i (x^*) = 0 согласно с (2.4). Поэтому из (2.3) следует неравенство

f(x^*) \le (x) + \sum_i \lambda_i^* g_i (x) \le f(x)
для всех x, удовлетворяющих ограничениям задачи НП. Таким образом, x* - оптимальное решение задачи НП.

Перейдем к доказательству необходимости. Допустим, что x* - оптимальное решение задачи НП. Заметим, что система

\left.
\begin{aligned}
& f(x) - f(x^*) < 0, \\
& g(x) \le 0
\end{aligned}
\right\} ( 2.6)
не имеет решения, так как x* - точка минимума задачи НП. Отсюда следует также, что не имеет решений и следующая система:
\left.
\begin{aligned}
& f(x) - f(x^*) < 0, \\
& g(x) < 0
\end{aligned}
\right\} ( 2.7)

Тогда согласно теореме Фана существуют такие \lambda_0^*, \lambda_1^*, \ldots, \lambda_m^* \ge 0, что

\lambda_0^* \left[ f(x) - f(x^*) \right] +
\sum_{i=1}^m \lambda_i^* g_i (x) \ge 0. ( 2.8)

Поскольку

\lambda_i^* \ge 0, \quad g_i(x^*) \le 0, \forall i,
то
\sum_{i=1}^m \lambda_i^* g_i (x) \le 0, \text{для всех} \; x . ( 2.9)

Если же в (2.8) положить x=x*, то получим

\sum_{i=1}^m \lambda_i^* g_i (x) \ge 0. ( 2.10)

Сравнив (2.9) с (2.10), получим

\sum_{i=1}^m \lambda_i^* g_i (x) = 0. ( 2.11)

Тогда из уравнений (2.8) и (2.11) получим

\lambda_0^* f(x^*) + \sum_{i=1}^m \lambda_i^* g_i (x^*) \le 
\lambda_0^* f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i^* g_i (x). ( 2.12)

Таким образом доказано правое неравенство для седловой точки. Поскольку g(x^*) \le 0, то \lambda^T g(x) \le 0 при любом \lambda \ge 0. Следовательно,

\lambda_0^* f(x^*) + \Lambda^T g(x^*) \le \lambda_0^* f(x^*) + \Lambda^{*T} g(x^*). ( 2.13)

Разделив обе части (2.13) на \lambda_0^* > 0, получим левое неравенство для седловой точки:

f(x^*) + \frac{\Lambda^T}{\lambda_0^*} \, g(x^*) =
L(x^*, \Lambda) \le f(x^*) + \frac{\Lambda^{*T}}{\lambda_0^*} \,
g(x^*) = L(x^*, \Lambda^*)

Таким образом, теорема доказана.

Чтобы обеспечить условие \lambda_0^* > 0, необходимо предположить существования условия регулярности Слейтера. В самом деле, пусть \lambda_0^* = 0. Тогда выражение (2.12) примет вид

\sum_{i=1}^m \lambda_i^* g_i (x^*) = 0 \le \sum_{i=1}^m \lambda_i^* g_i (x) ( 2.14)

Вместе с тем условие регулярности Слейтера утверждает, что существует такой вектор x, что g(x)<0, и, следовательно, \sum_{i=1}^m \lambda_i^* g_i (x) < 0. Так как это противоречит уравнению (2.14), то предположения теоремы вместе с условием регулярности Слейтера обеспечивает ее справедливость.

Таким образом, при выполнении условий теоремы 2.1 задача НП становится эквивалентной задаче отыскания седловой точки функции Лагранжа.

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >
Максим Земан
Максим Земан
Россия, Омск, ОмГТУ, 2005
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига