Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы

2. Отклонение заряженной частицы в электронно-лучевой трубке. Будем считать, что обкладки конденсатора электроннолучевой трубки (рис. 2.2) представляют собой бесконечные плоскости

(предположение справедливо в случае, если расстояние между обкладками много меньше их размеров, а электрон движется на большом удалении от их краев). Очевидно, что электрон будет притягиваться к нижней обкладке и отталкиваться от верхней. Сила притяжения F двух разноименных зарядов элементарно определяется из закона Кулона

где q₁ и q₂ - величины зарядов, r - расстояние между ними. Сложность заключается в том, что в данном примере на обкладке находится бесконечно много зарядов, каждый из которых расположен на своем расстоянии от движущегося электрона. Поэтому необходимо сначала найти силу, индуцируемую каждым зарядом, и затем, просуммировав все элементарные силы, определить результирующее действие обкладок на электрон.

Разобьем всю плоскость нижней обкладки на элементарные "полоски", характеризующиеся координатами r₁, r₂, r₃ ; ; r₂ = 0 (см. рис. 2.2).

Подсчитаем силу притяжения электрона зарядом, находящемся на элементарной площадке ds=dr₁dr₃ и равным dq=q₀ds, где q₀ - поверхностная плотность заряда на обкладке. Если частица находится на расстоянии r₂ от заряженной плоскости, то

(здесь учитывается малость величны da ). Для определения величины dr₃ имеем

Из последних двух формул находим

где, аналогично предыдущему, учтена также и малость величины . Умножая dr₁ на dr₃ и отбрасывая член более высокого порядка малости, получаем . Сила притяжения электрона с зарядом q_е к элементарной площадке ds равна где r - "среднее" расстояние от электрона до площадки, которое с учетом малости величин вычисляется по формуле . В итоге для элементарной силы имеем а для ее вертикальной составляющей

Проинтегрировав выражение для по от до , найдем силу притяжения электрона к части элементарной "полоски", расположенной в квадранте r₁ > 0, r₃ > 0:

Просуммировав по от до , т.е. по всем полоскам квадранта r₁ > 0, r₃ > 0, определим силу притяжения, индуцируемую зарядами, расположенными в этом квадранте:

Учитывая действие всех четырех квадрантов плоскости нижней обкладки и проводя аналогичные рассуждения для верхней обкладки, получим результирующую силу притяжения (отталкивания) электрона ко всем зарядам конденсатора

Сила F направлена вдоль оси r₂ к нижней обкладке (составляющие F по осям r₁, r₃, очевидно, равны нулю в силу симметрии - чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть действие заряда, находящегося на площадке, расположенной в квадранте r₁ < 0, r₃ < 0 и симметричной площадке ds ).

Поскольку сила F не зависит от r₂, а по горизонтальной оси частица движется с постоянной скоростью v, то приходим к ситуации предыдущего пункта - применив второй закон Ньютона, легко получить формулы, аналогичные (1), описывающие движение электрона по параболической траектории и дающие возможность вычислить все ее параметры. Однако в отличие от случая с подлодкой прямое применение фундаментального закона Кулона для получения модели движения электрона оказывается невозможным. Потребовалось, опираясь на фундаментальный закон, сначала описать элементарный акт взаимодействия зарядов, и уж затем, просуммировав все эти акты, удалось найти результирующую силу.

Подобная ситуация и последовательность действий весьма типичны при построении моделей, так как многие фундаментальные законы устанавливают взаимоотношения как раз между элементарными частями исходного объекта. Это, разумеется, справедливо не только для электрических сил, но, например, и для сил тяготения.