НОУ ИНТУИТ | Введение в математику. Практикум. Лекция 5: Численный и приближенный анализ

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 22.01.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 3451 / 676 | Оценка: 4.05 / 4.28 | Длительность: 03:50:00

Тема: Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 47 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Развитие исследовательских и творческих навыков по построению, исследованию и использованию вычислительных схем различной природы

Ключевые слова: приближенное решение уравнения, метод бисекции, точность прогноза, эмпирическая формула, приращение функции, метод наименьших квадратов, линейное программирование

С помощью приближенной формулы

$x_n= \cfrac12 \left ( x_{n-1}+\cfrac{a}{x_{n-1}}\right)$
для нахождения квадратного корня из числа а, вычислить приближенные значения корня из 2 с точностью 0,01 и 0,001. Сравните объем вычислительной работы. Докажите, что для всякого a>0 найдется N, что x_N достаточно (с любой точностью) близко к $\sqrt{a}$ , т.е. корень из положительного числа можно вычислить с какой угодно точностью по рекуррентной формуле для x_n . Указание: положить

$\cfrac{x_n}{\sqrt{a}}=1+\varepsilon_n,$

разделить выражение для x_n на $\sqrt{a}$ и учесть это равенство; из полученного равенства

$\cfrac{x_n}{\sqrt{a}}=\cfrac12\left(\cfrac{x_{n-1}}{\sqrt{a}}+\cfrac{\sqrt{a}}{x_{n-1}}\right)$

следует, что

$1+\varepsilon_n= \cfrac12\left( 1+ \varepsilon_{n-1}+\cfrac{1}{1+\varepsilon_{n -1}}\right) \Rightarrow \varepsilon_n = \cfrac12\left( \varepsilon_{n-1}-1+\cfrac{1}{1+\varepsilon_{n -1}}\right) = \cfrac12\cdot\cfrac{\varepsilon _{n-1}}{1+\varepsilon_{n-1}}$
Решить аналитически, графически и приближенно (методом бисекций, с точностью не менее 0,01 ) уравнение x³–x²–5х+6=0. Сравнить вычислительные затраты (время) и точность найденных корней. Указание: для аналитического решения уравнение записать в виде
Даны значения числа зарегистрированных безработных в РФ (млн. чел.) за пять лет, начиная с 1992 года: 3,584 ; 4,160 ; 5,478 ; 6,040 ; 6,800. Построить интерполянту по этим данным и найти численность безработных в 1993 году. Осуществить прогноз на 1997 и 1999 год. Сравнить с реальными данными. Оценить точность прогноза. Указание: точность прогноза оценить в относительных ошибках.
По данным предыдущей задачи найти численно производную заданной дискретной функции числа безработных (темп роста безработных). Указание: продифференцируйте найденную выше интерполянту и вычислите значение производной.
Если данные получены в результате измерения объекта или системы, находящейся в развитии без лимитирующих факторов, то есть прямой смысл искать соответствующую эмпирическую формулу вида y=Ae^ax . Обоснуйте это утверждение. Указание: отсутствие лимитирования ведет к экспоненциальному росту, согласно уравнению показательного роста.
В качестве эмпирических функций в социально-гуманитарных и эколого-экономических областях часто используются зависимости:
- степенная – $y=a_0x^{a_1}$ ,
- показательная – $y=a_0\cdot a_1^x$ ,
- экспоненциальная – $y=a_0e^{a_1x}$ ,
- логистическая – $y=\cfrac{1}{a_0+a_1e^{-a_2x}}$ .
Выбор функции в каждом конкретном случае осуществляют на основании ряда свойств. Часто о виде модели можно судить по соотношениям (и по скорости изменения значений функции) – по приращениям:

$\Delta x = x_{i+1}-x_i,\, \Delta y =y_{i+1}-y_i.$

Какие функции лучше подбирать в случаях:
- $\cfrac{\Delta \ln y}{\Delta x} \approx const$ ;
- $\cfrac{ y}{\Delta \ln x} \approx const$ ;
- $\cfrac{\Delta \ln y}{\Delta \ln x} \approx const$ .
Обоснуйте ответ. Указание: если отношение малых приращений функции и аргумента постоянно, то производная, соответствующая этим приращениям близка к постоянной.
Подобрать эмпирическую формулу $y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2$ при равноточных данных, если зависимость транспортных издержек в руб. (величина y ) при перевозке единицы груза на х км выражена нижеследующей таблицей:

x 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

y 0,3010 0,3424 0,3802 0,4150 0,4472 0,4771

Определить стоимость перевозки (транспортных издержек) при необходимости перевозки груза на расстояние:
- 1,9 км;
- 2,5 км;
- 3,5 км.
Указание: используя метод наименьших квадратов и систему нормальных уравнений определить неизвестные три коэффициента искомой зависимости.
Необходимо решить приближенно систему трех уравнений с тремя неизвестными, если коэффициенты a_ij ( i,j=1,2,3 ) системы равны интегралам от функции $e^{-x^2}$ в границах от 0 до i+j, а свободные члены b_i=i. Указание: вычислить сначала приближенно интегралы (экономно!), например, по формуле трапеций.
Торговая фирма закупила товар. Необходимо развести этот товар в два магазина фирмы: в первый магазин необходимо доставить не менее 40 комплектов, а во второй – не менее 20 комплектов. Доставка одного комплекта в первый магазин обходиться в 100 руб., а во второй магазин – 300 руб. Прибыль от реализации одного комплекта товара первого вида равна 500 руб., а второго товара – 700 руб. Необходимо составить такой график перевозки, чтобы чистый доход (прибыль от реализации минус стоимость доставки) была бы максимальной. Сформулировать как задачу математического программирования и решить. Указание: записать в виде транспортной задачи; функция цели – чистый доход (прибыль от реализации минус стоимость доставки).
Пенсионному фонду требуется составить оптимальный график выплаты пенсий трех видов в сумме 100, 200, 300 тыс. руб. План выплаты должен предусматривать наименьший срок выплат. Первый вид пенсий должен быть выплачен в течение не менее 8 дней, второй – в течение не менее 12 дней, третий вид – в течение 9 дней. Составить план выплат с наименьшим общим сроком выплат, если пенсионный фонд может в день выплачивать не более 50, 70, 100 тыс. руб. пенсии каждого вида. Сформулировать эту содержательно изложенную задачу как задачу математического программирования и решить. Указание: записать как задачу линейного программирования ; функция цели – срок выплаты.