Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1626 / 46 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00
ISBN: 978-5-9556-0099-4
Специальности: Программист, Математик
Лекция 11:

Интегрирование полиномов и рациональных функций. Некоторые сведения из дифференциальной алгебры. Структурная теорема

Некоторые сведения из дифференциальной алгебры

В дифференциальной алгебре рассматриваются алгебраические структуры (кольца, поля), в которых наряду с арифметическими операциями имеется операция дифференцирования. При этом дифференцирование определяется не через предельный переход, а с использованием алгебраических свойств. Типичными объектами, с которыми имеет дело дифференциальная алгебра, являются кольца (поля) функций, определенных на подмножестве вещественной прямой или евклидова пространства либо на подмножестве комплексной плоскости. В дифференциальной алгебре мы отвлекаемся от функциональной природы рассматриваемых объектов, не рассматриваем вопросы области определения функций, однозначности и т. д., например, \log (x-\alpha ), где \alpha - алгебраическое число, не интерпретируется как функция на действительной оси или в области комплексной плоскости.

Прежде всего напомним формальное определение дифференцирования, дифференциального кольца и дифференциального поля (см. определение 3.2).

23.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображение \delta кольца R в себя называется дифференцированием, дифференцирование если оно удовлетворяет условиям

\begin{equation} 
   \delta (a+b)&=\delta a+\delta b \\
   \delta (ab)&=\delta a\cdot  b  +  a\cdot  \delta  b 
\end{equation} ( 23.1)
для всех a,b\in R.

23.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обыкновенным дифференциальным кольцом (полем) называется кольцо (поле), на котором действует оператор дифференцирования \delta. Если на кольце (поле) задано несколько попарно коммутирующих дифференцирований, то оно называется частным дифференциальным кольцом полем или кольцом (полем) с частными производными .

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только обыкновенных дифференциальных полей.

23.3. ПРИМЕРЫ.

  1. Любое кольцо R можно рассматривать как дифференциальное кольцо с нулевым дифференцированием.
  2. Кольцо бесконечно дифференцируемых на отрезке функций с дифференцированием по координате d/dx является дифференциальным кольцом.
  3. Кольцо многочленов от одной переменной x над кольцом D можно превратить в дифференциальное кольцо, полагая дифференцирование \delta тривиальным на D и произвольным образом задав значение \delta(x). Продолжение дифференцирования на все кольцо многочленов определяется однозначно правилами (23.1).

23.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если R - дифференциальное кольцо ( поле ) с дифференцированием \delta, то множество элементов c\in R, таких, что \delta c=0 образует подкольцо (подполе) кольца (поля) R, называемое подкольцом (подполем) констант. Элемент \delta a называется производной элемента a\in R и часто обозначается a'. Элемент \delta ^n(a) называется n -ой производной элемента a и обозначается обычно a^{(n)}.

23.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть \EuScript F --дифференциальное поле с дифференцированием \delta. Расширение \EuScript G поля \EuScript F называется дифференциальным расширением дифференциального поля \EuScript F , если на \EuScript G определено дифференцирование \delta_1, ограничение которого на \EuScript F совпадает с \delta. Дифференцирование \delta _1 называется продолжением дифференцирования \delta и обозначается, если это не приводит к двусмысленности, тем же символом \delta.

Имеют место следующие теоремы о продолжении дифференцирований.

23.6. ТЕОРЕМА. Пусть R -целостное кольцо, \EuScript F -его поле частных, \delta - дифференцирование кольца R. Тогда дифференцирование \delta однозначно продолжается до дифференцирования поля \EuScript F .

Нетрудно проверить, что, полагая \delta \left(\frac ab\right)=\frac
{\delta
a\,b-a\,\delta b}{b^2 }, мы получаем нужное продолжение и из соотношения \delta (b\cdot(\frac ab))=\delta a следует единственность этого продолжения.

23.7. ТЕОРЕМА. Пусть \EuScript F -дифференциальное поле с дифференцированием \delta, \EuScript G - алгебраическое расширение поля \EuScript F . Тогда дифференцирование \delta однозначно продолжается до дифференцирования поля \EuScript G .

Действительно, если \alpha удовлетворяет алгебраическому уравнению

\sum_{i=0}^n a_i\alpha^i=0,
то производная \alpha' удовлетворяет соотношению
\alpha'\sum_{i=1}^nia_i\alpha^{i-1}=-\sum_{i=0}^na'_i\alpha^i.

В дифференциальной алгебре логарифмы и экспоненты определяются следующим образом.

23.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть \EuScript G -дифференциальное расширение дифференциального поля \EuScript F . Элемент \theta \in \EuScript G называется логарифмом над \EuScript F , если \theta удовлетворяет дифференциальному уравнению {f\theta '=f'} для некоторого ненулевого элемента f\in \EuScript F (обозначается \theta =\log
f ).

23.9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть \EuScript G -дифференциальное расширение дифференциального поля \EuScript F . Элемент \theta \in \EuScript G называется экспонентой над \EuScript F , если \theta удовлетворяет дифференциальному уравнению {\theta
'=f'\theta} для некоторого ненулевого элемента f\in \EuScript F (обозначается \theta =\exp
f ).

Легко видеть, что определяемые в курсе анализа функции \ln f и e^f удовлетворяют этому определению.

Классической постановкой задачи интегрирования в конечном виде считается случай, когда \EuScript A=\EuScript B -класс элементарных функций. Элементарные функции получаются из рациональных функций посредством арифметических операций и композиции функций (может быть вложенной) алгебраических, логарифмических и экспоненциальных. Более строго элементарные функции определяются следующим образом.

Марина Подлевских
Марина Подлевских

Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование?