Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Наибольший общий делитель и последовательности полиномиальных остатков
Алгоритм примитивных PRS
В этом случае
![\beta_i=\cont\{\prem[p_i(x),p_{i+1}(x)]\},\quad i=1, 2,\dots , h-1,](/sites/default/files/tex_cache/f9e08b5d22da99fda0598c7ba8ff90de.png)
где prem обозначает псевдоостаток, т. е. теперь мы удаляем содержание (i + 2) -го члена PRS до того, как мы используем его. [Напомним, что для данного p(x) удобно определять p. p.[p(x)] так, чтобы старший коэффициент был положительным.]
6.6. ПРИМЕР. Рассмотрим те же полиномы, что и в предыдущем
примере: p1(x) = x3 - 7x + 7, p2(x) = 3x2 - 7 в , где снова
Теперь мы получаем

что достигается выполнением следующих псевдоделений:

Этот алгоритм дает наилучшие возможные результаты в отношении роста коэффициентов, однако, они достигаются достаточно
сложными вычислениями НОД коэффициентов на каждом этапе. В
монографии
[
7
]
, 2.3.3] утверждается, что лучшим из известных методов вычисления НОД многочленов, основанных на применении к
многочленам с целыми коэффициентами алгоритма Евклида, является метод, в котором множители выбираются следующим образом.
Предположим, что даны два многочлена . Для
вычисления их НОД построим последовательность полиномиальных
остатков p3(x), p4(x), . . . , ps(x), 0. Введем обозначение ci для старшего коэффициента многочлена pi(x) и
для разности степеней
многочленов pi(x) и pi+1(x). Последовательность полиномиальных
остатков строим по формуле (6.1), в которой полагаем

где

Теорема о субрезультантах (см., например, [ 12 ] ) утверждает, что все pi являются многочленами с целыми коэффициентами.
6.7. ПРИМЕР. Анализ вычисления НОД следующих многочленов выполнен Брауном [ 17 ] . Этот пример разобран также в монографии [ 7 ] , § 2.3.3].

Рассматривая эти многочлены как элементы кольца и применяя алгоритм Евклида, мы получаем следующую последовательность:

Все выписанные дроби являются несократимыми.
Выписанная последовательность достаточно трудоемка для вычислений вручную. Рекомендуется воспользоваться системой компьютерной алгебры Maple. Данная последовательность полиномиальных остатков получается с помощью функции rem, вычисляющей остатки. По умолчанию система Maple не упорядочивает слагаемые в многочленах, для этой цели используется функция sort. Последовательность команд может выглядеть следующим образом:
![\begin{verbatim}
p[1]:=x^8+x^6-3*x^4-3*x^3+8*x^2+2*x-5;
p[2]:=3*x^6+5*x^4-4*x^2-9*x+21;
p[3]:=sort(rem(p[1],p[2],x));
p[4]:=sort(rem(p[2],p[3],x));
p[5]:=sort(rem(p[3],p[4],x));
p[6]:=sort(rem(p[4],p[5],x));
\end{verbatim}](/sites/default/files/tex_cache/fe013fa448e58c894abea9075033aa9b.png)
Применение нормализации делителя позволяет уменьшить коэффициенты, но не слишком сильно.
Для данного примера евклидова последовательность полиномиальных остатков имеет вид

Для вычисления этой последовательности с помощью системы Maple нужно в приведенной выше программе заменить функцию rem на prem.
Наконец, применяя формулы (6.2) и (6.3), мы получаем последовательность

которая возрастает значительно медленнее, чем предыдущие последовательности.