НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 10: Основные свойства контекстно-свободных языков

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

9.7*. Теорема Парика

Замечание 9.1.7. В этом разделе предполагается, что зафиксирован некоторый линейный порядок на алфавите $\Sigma$ . Пусть $\Sigma \peq \{ a_1 , \ldots , a_n \}$ .

Определение 9.7.2. Через $\cou$ будем обозначать функцию из $\Sigma ^*$ в $\mathbb{N} ^n$ , определенную следующим образом: $\cou ( w ) \mymathrel{\bydef} \lp | w |_{a_1} , \ldots , | w |_{a_n} \rp$ . Аналогично, каждому языку $L \subseteq \Sigma ^*$ ставится в соответствие множество $\cou ( L ) \subseteq \mathbb{N} ^n$ , определенное следующим образом:

$\cou ( L ) \bydef \{ \cou ( w ) \mid w \in L \} .$

Пример 9.7.3. Пусть $\Sigma = \{ a_1 , a_2 \}$ и L = {a₁,a₁a₂a₂,a₂a₂a₁}. Тогда $\cou ( L ) = \{ \lp 1 , 0 \rp , \lp 1 , 2 \rp \}$ .

Определение 9.7.4. Пусть $B \subseteq \mathbb{N} ^n$ и $P \subseteq \mathbb{N} ^n$ . Тогда через $\linear ( B , P )$ обозначается множество

$\{ b + p_1 + \ldots + p_k \mid b \in B ,\ k \geq 0 ,\ p_1 , \ldots , p_k \in P \} .$

При этом множество B называется системой предпериодов множества L(B,P). Множество P называется системой периодов множества L(B,P).

Определение 9.7.5. Множество $A \subseteq \mathbb{N} ^n$ называется линейным (linear), если A = L(B,P) для некоторых конечных множеств B и P.

Определение 9.7.6. Множество $A \subseteq \mathbb{N} ^n$ называется полулинейным (semilinear), если оно является объединением конечного числа линейных множеств.

Теорема 9.7.7 (Теорема Парика). Если язык $L \subseteq \Sigma ^*$ является контекстно-свободным, то множество $\cou ( L )$ является полулинейным.

Доказательство можно найти в [Гин, с. 207-211].

Пример 9.7.8. Пусть $\Sigma = \{ a , b \}$ . Рассмотрим язык $L \peq \{ a^m b^n \mid m > n \rusor m \mathspace\text{простое} \}$ . Можно проверить, что множество $\cou ( L )$ не является полулинейным. Следовательно, язык L не является контекстно-свободным.

Теорема 9.7.9. Если множество $A \subseteq \mathbb{N} ^n$ является полулинейным, то существует такой автоматный язык L, что $A = \cou ( L )$ .

Доказательство. Докажем это для произвольного линейного множества A = L(B,P) (на полулинейные множества утверждение распространяется по теореме 3.1.1). Рассмотрим конечный автомат $M = \lalg Q , \Sigma , \Delta , I , F \ralg$ , где Q = {1,2}, I = {1}, F = {2} и

$\begin{multiline*} \Delta = \{ \lp 1 , a_1 ^{k_1} \ldots a_n ^{k_n} , 2 \rp \mid \lp k_1 , \ldots , k_n \rp \in B \} \cup \\ \cup \{ \lp 2 , a_1 ^{k_1} \ldots a_n ^{k_n} , 2 \rp \mid \lp k_1 , \ldots , k_n \rp \in P \} . \end{multiline*}$