НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 10: Основные свойства контекстно-свободных языков

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

9.3. Свойства замкнутости класса линейных языков

Пример 9.3.1. Пусть $\Sigma = \{ a , b , c \}$ . Язык $\{ u c u \reverse \mid u \in \{ a , b \}^* \}$ является линейным, так как он порождается грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; a S a , \\ S \; & {\to} \; b S b , \\ S \; & {\to} \; c . \end{align*}$

Пример 9.3.2. Рассмотрим алфавит $\Sigma = \{ a , b , c \}$ . Язык

$\{ a^m b^n c^k \mid 0 \leq m < n \commaand k \geq 0 \}$

является линейным, так как он порождается грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; S c , & T \; & {\to} \; a T b , \\ S \; & {\to} \; T , & T \; & {\to} \; T b , \\ & & T \; & {\to} \; b . \end{align*}$

Теорема 9.3.3. Если L₁ и L₂ - линейные языки над алфавитом $\Sigma$ , то $L_1 \cup L_2$ тоже линейный язык.

Доказательство. Пусть язык L₁ порождается линейной грамматикой $\lalg N_1 , \Sigma , P_1 , S_1 \ralg$ и L₂ порождается линейной грамматикой $\lalg N_2 , \Sigma , P_2 , S_2 \ralg$ , где $N_1 \cap N_2 = \varnothing$ . Тогда $L_1 \cup L_2$ порождается грамматикой

$\lalg N_1 \cup N_2 \cup \{ T \}, \Sigma, P_1 \cup P_2 \cup \{ T \tto S_1 ,\ T \tto S_2 \} , T \ralg ,$

где $T \notin N_1 \cup N_2 \cup \Sigma$ .

Пример 9.3.4. Рассмотрим алфавит $\Sigma = \{ a , b , c \}$ . Язык

$L \peq \Sigma ^* \sminus \{ a^n b^n c^n \mid n \geq 0 \}$

является линейным, поскольку

$L \peq L_1 \cup L_2 \cup ( \Sigma ^* \sminus L_3 ) ,$

где языки

$L_1 \peq \{ a^m b^n c^k \mid m \neq n \commaand k \geq 0 \} ,\quad L_2 \peq \{ a^m b^n c^k \mid n \neq k \commaand m \geq 0 \}$

являются линейными, а язык

$L_3 \peq \{ a^m b^n c^k \mid m \geq 0 ,\ n \geq 0 \commaand k \geq 0 \}$

является автоматным, и можно применить теоремы 9.3.3, 3.2.1, 2.4.1 и лемму 1.5.13.

Упражнение 9.3.5. Пусть $\Sigma = \{ a , b , c \}$ . Является ли линейным язык $\Sigma ^* \sminus \{ u c u \mid u \in \{ a , b \}^* \}$ ?

Упражнение 9.3.6. Пусть $\Sigma = \{ a , b , c \}$ . Является ли линейным язык $\Sigma ^* \sminus \{ u c u \reverse \mid u \in \{ a , b \}^* \}$ ?