Опубликован: 24.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 6:

Выразимость в арифметике

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >

Теорема 31. Пусть единичный квадрат разрезан на несколько меньших квадратов. Тогда все они имеют рациональные стороны.

Пусть дано такое разрезание с n меньшими квадратами. Напишем формулу с 3n параметрами ( n из которых соответствуют размерам меньших квадратов, а 2n — координатам их левых верхних углов), которая говорит, что эти параметры действительно задают разрезание квадрата (квадраты содержатся внутри единичного, не имеют общих точек и всякая точка единичного квадрата покрывается хотя бы одним из меньших квадратов). Навесив кванторы существования по переменным, задающим координаты, получим формулу F(x_1,\dots,x_n) с параметрами x_1,\dots,x_n, которая истинна, когда из квадратов размеров x_1,\dots,x_n можно составить единичный квадрат.

Элиминация кванторов позволяет считать, что формула F бескванторная, то есть представляет собой логическую комбинацию равенств и неравенств вида c_1x_1\hm+\ldots\hm+c_nx_n\hm+c_0\hm=0 и c_1x_1\hm+\ldots\hm+c_nx_n\hm+c_0\hm> 0 с различными рациональными коэффициентами. Посмотрим на все выражения, стоящие в левой части таких равенств и неравенств. Подставим в них числа \overline{x}_1,\dots,\overline{x}_n, соответствующие данному нам разрезанию. При этом получится истинная формула F(\overline{x}_1,\dots,\overline{x}_n), в которой некоторые из левых частей равенств и неравенств будут равны нулю, а другие нет. Временно забудем про те, которые не равны нулю, а равные нулю будем воспринимать как левые части уравнений с неизвестными x_1,\dots,x_n (с нулем в правой части) независимо от того, входили ли они в F как левые части уравнений или неравенств. Получится система уравнений, для которой числа \overline{x}_1,\dots,\overline{x}_n будут решениями. Если эти числа являются единственными ее решениями, то они рациональны (например, потому, что правила Крамера для решения системы уравнений содержат отношения определителей с рациональными элементами). Покажем, что другого быть не может.

В самом деле, если решение не единственно, то есть целая прямая, проходящая через точку \overline{x}=
\langle\overline{x}_1,\dots,\overline{x}_n\rangle и лежащая в множестве решений системы. Все точки прямой, достаточно близкие к \overline{x}, неотличимы от \overline{x} с точки зрения формулы F и потому делают формулу F истинной. В самом деле, левые части, равные нулю в \overline{x}, равны нулю на всей прямой, а левые части, отличные от нуля в точке \overline{x}, сохраняют знак в некоторой окрестности этой точки. Пусть \langle h_1,\dots,h_n\rangle — направляющий вектор этой прямой. Тогда при всех достаточно малых значениях t из квадратов размеров

\overline{x}_1+th_1,
\overline{x}_2+th_2,\dots,
\overline{x}_n+th_n
можно составить единичный квадрат. Но это невозможно. Чтобы убедиться в этом, достаточно оставить логику и вернуться к геометрии: площади этих квадратов в сумме должны равняться 1, но площадь каждого есть многочлен второй степени по t, и коэффициент при t^2 положителен, поэтому сумма таких многочленов не может тождественно равняться единице ни на каком интервале.

Насколько существенна в этом рассуждении ссылка на возможность элиминации кванторов? В принципе можно было бы рассуждать так. Пусть дано разрезание квадрата. Посмотрим на конфигурацию, образуемую меньшими квадратами, и напишем равенства и неравенства на размеры частей, которые гарантируют, что в этой конфигурации нет щелей и перекрытий. (Далее продолжаем рассуждение как раньше.) Конечно, возникает вопрос: почему мы уверены, что такую систему уравнений и неравенств можно написать? Глядя на конкретную конфигурацию, это сделать легко, но как провести это рассуждение строго для общего случая, не вполне понятно.

Изложенные методы позволяют провести элиминацию кванторов и описать выразимые множества во многих ситуациях; несколько простых примеров такого рода предлагаются в качестве задач. Два более сложных примера (арифметика Пресбургера и теория сложения и умножения действительных чисел) разбираются в двух следующих разделах.

66. Описать выразимые предикаты, проведя элиминацию кванторов (и расширив сигнатуру, если нужно) для (а) (M, {=}), где Mпроизвольное бесконечное множество; (б) (\bbQ, {=},{+}) ; (в) (\mathbb{Q}, {=}, S), где S — операция прибавления единицы; (г) (\mathbb{N}, {=}, S), где S — операция прибавления единицы; (д) (\mathbb{N}, {=}, S, P), где S — операция прибавления единицы, а P — одноместный предикат "быть степенью двойки".

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >
Алексей Васильев
Алексей Васильев
Россия, Новосибирск
David Satseradze
David Satseradze
Грузия, Тбилиси