Опубликован: 24.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 6:

Выразимость в арифметике

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >

Теорема 29. Всякая формула в (\mathbb{Z},{=},{<}, S) (где Sфункция прибавления единицы) эквивалентна некоторой бескванторной формуле. (Как говорят, (\mathbb{Z},{=},{<},S) допускает элиминацию кванторов.)

Полностью утверждение теоремы звучит так: для всякой формулы сигнатуры, содержащей равенство, порядок и символ S, найдется бескванторная формула той же сигнатуры, которая эквивалентна ей в интерпретации, где носителем является \mathbb{Z}, а символы сигнатуры интерпретируются естественным образом. (В дальнейшем мы будем опускать такие пояснения.)

Доказательство следует прежней схеме. Правда, теперь атомарных формул больше — помимо формул x=t_i у нас будут формулы x<t_i. Поэтому нельзя рассчитывать на то, что все значения x, не встречающиеся среди \{t_1,\dots,t_k\}, ведут себя одинаково, и наш прием с выделением случая, когда все равенства ложны, более не проходит.

Как же быть? Для данных значений x_1,\dots,x_n числа t_1,\dots,t_k делят числовую ось (точнее, множество \mathbb{Z} целых чисел) на промежутки, и для выяснения истинности формулы \varphi нам надо попробовать (помимо всех t_i ) хотя бы по одному числу из каждого промежутка. Это будет гарантировано, если мы напишем дизъюнкцию, в которую, помимо всех формул \tau(t_i,x_1,\dots,x_n), войдут также формулы \tau(t_i+1,x_1,\dots,x_n) и \tau(t_i-1,x_1,\dots,x_n). Это позволяет нам обойтись без формулы \varphi'' и благополучно завершить доказательство.

63. Проверьте, что добавление константы 0 к этой сигнатуре не препятствует элиминации кванторов.

Что будет, если мы из этой сигнатуры удалим функцию S? Легко понять, что класс выразимых множеств не изменится, так как y=S(x) можно выразить как " y является наименьшим элементом, большим x ". Однако при этом мы использовали кванторы, так что для (\mathbb{Z},{=},{<}) элиминация кванторов невозможна.

64. Убедитесь, что в самом деле формула y\hm=S(x) не эквивалентна никакой бескванторной формуле этой сигнатуры.

Часто такой переход приходится выполнять в обратном направлении: у нас есть некоторая ситуация, в которой элиминация кванторов не проходит. Мы обходим эту трудность, добавив некоторые выразимые предикаты и функции в нашу сигнатуру, после чего элиминация кванторов удается. В этом случае мы получаем описание всех выразимых предикатов (предикат выразим, если он записывается бескванторной формулой расширенной сигнатуры). Мы встретимся с такой ситуацией дальше, говоря об арифметике Пресбургера.

В некоторых случаях рассуждение упрощается, если использовать приведение бескванторной формулы к дизъюнктивной нормальной форме. Вот один из таких примеров.

Теорема 30. Всякая формула в (\mathbb{Q},{=},{<}) эквивалентна некоторой бескванторной формуле.

Как всегда, достаточно рассмотреть случай формулы вида

\exists x \,\tau(x,x_1,\dots,x_n),
где \tau(x,x_1,\dots,x_n) — бескванторная формула. Формулу \tau можно считать формулой в дизъюнктивной нормальной форме (теорема 4). Напомним, это означает, что \tau представляет собой дизъюнкцию конъюнкций, а каждая конъюнкция соединяет несколько литералов (атомарных формул или их отрицаний).

В данном случае можно избавится от отрицаний, заменив \lnot(x=y) на ((x<y)\lor (x>y)), а \lnot(x<y) — на ((x=y)\lor(x>y)). После этого надо воспользоваться дистрибутивностью и вновь придти к дизъюнктивной нормальной форме — с большим числом членов, но уже без отрицаний.

Теперь надо воспользоваться тем, что квантор существования (который есть "бесконечная дизъюнкция") можно переставлять с дизъюнкцией. Точнее говоря, мы пользуемся тем, что формулы \exists x\,(\tau_1 \lor \tau_2) и \exists x\,\tau_1 \lor  \exists x\,\tau_2 эквивалентны. (Белый или черный единорог существует тогда и только тогда, когда существует белый единорог или существует черный единорог.) Это обстоятельство позволяет заменить формулу

\exists x\, (\tau_1\lor\tau_2\lor\ldots\lor\tau_n)
на
\exists x\, \tau_1\lor\exists x\,\tau_2\lor\ldots\lor\exists x\,\tau_n
и дальше разбираться с каждой из формул поодиночке.

Итак, нам осталось преобразовать к бескванторному виду формулу

\exists x \, (\rho_1 \land \rho_2 \land\ldots\land\rho_k),
где каждая из формул \rho_i соединяет какие-то две переменные знаком = или < (напомним, что от отрицаний мы уже избавились).

Некоторые из формул \rho_i не содержат переменной x. Тогда их можно вынести за квантор: если x не является параметром формулы \alpha, то формулы \exists x\, (\alpha\land\beta) и \alpha \land  \exists
x\,\beta эквивалентны (если \alpha истинно для некоторых значений параметров, то в обеих формулах его можно опустить; если \alpha ложно, то обе формулы ложны при этих значениях параметров).

Вынеся такие формулы, можно считать, что под квантором остались лишь формулы вида x<x_i, x=x_i и x>x_i, сравнивающие переменную x с какими-то другими переменными. Если там есть хоть одно равенство, то квантор существования вырождается — его можно удалить вместе с переменной x, заменив ее на ту переменную, которой она равна. Например, формулу \exists
x\,((x\hm=y)\hm\land A(x)) можно заменить на A(y).

Итак, остался случай, когда переменная x встречается лишь в неравенствах. Другими словами, нас спрашивают, найдется ли значение x, большее каких-то переменных и меньшее каких-то других. Если все ограничения на x одного знака (только снизу или только сверху), то такое значение x существует при любых значениях других переменных (поскольку в множестве \mathbb{Q} нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов). Что делать, если есть ограничения разных знаков? Пусть наша формула, например, имеет вид

\exists x \, ((x>a)\land (x>b)\land(x<c)\land(x<d)).
Как записать условия на a,b,c,d, при которых это верно, не используя кванторов? Надо написать такую формулу:
(a<c)\land (a<d)\land (b<c) \land (b<d).
Мы хотим написать, что наибольшая из нижних границ меньше наименьшей из верхних, но поскольку заранее неизвестно, какая будет наибольшей и какая наименьшей, мы пишем, что любая нижняя граница меньше любой верхней. Поскольку множество \mathbb{Q} является плотным (между любыми двумя элементами найдется третий), то эта формула равносильна исходной.

Так, постепенно сводя дело ко все более простым случаям, мы завершили рассуждение.

Заметим, что в этом доказательстве из свойств рациональных чисел мы использовали лишь отсутствие наибольшего и наименьшего элемента и плотность. Поэтому все наши преобразования остаются эквивалентными для любого упорядоченного множества с такими свойствами, а не только для \mathbb{Q}. Применив эти преобразования к замкнутой формуле (формуле без параметров), мы получим или тождественно истинную формулу, или тождественно ложную (только надо добавить в язык константы для истины и лжи, чтобы не использовать фиктивных переменных, когда надо написать тождественно истинное или тождественно ложное выражение). Отсюда мы заключаем, что во всех плотных упорядоченных множествах без первого и последнего элемента справедливы одни и те же формулы нашей сигнатуры. Как говорят, все такие множества элементарно эквивалентны с точки зрения нашей сигнатуры. (Другое доказательство этого факта можно получить, используя теорему Левенгейма-Сколема о счетной подмодели и теорему об изоморфизме счетных плотных линейно упорядоченных множеств без первого и последнего элементов.)

В частности, мы доказали, что для рациональных и действительных чисел истинны одни и те же формулы сигнатуры ({=},{<}).

Еще одним побочным продуктом нашего рассуждения (как и других рассуждений об элиминации кванторов) является способ выяснить, будет ли данная замкнутая формула истинной или ложной в рассматриваемой интерпретации. Для этого надо привести ее к бескванторному виду и посмотреть, получится ли И или Л. Другими словами, элиминация кванторов устанавливает разрешимость элементарной теории рациональных чисел с отношениями равенства и порядка.

Элиминация кванторов остается возможной (и рассуждение даже немного упрощается), если рациональные (или действительные) числа рассматривать не только с равенством и порядком, но и со сложением и рациональными константами. В этом случае можно воспользоваться приведенной ранее схемой с конечным представительным набором термов. В самом деле, пусть xпеременная, которую (вместе с квантором существования по ней) мы хотим элиминировать. Все атомарные формулы, ее содержащие, можно "разрешить" относительно x, получив некоторое количество формул вида x=t_i, x>t_i и x<t_i, где t_iлинейные комбинации остальных переменных с рациональными коэффициентами. (Разрешение рациональных коэффициентов вместо целых ничего не меняет, так как можно привести все к общему знаменателю и получить целые коэффициенты, затем перенести отрицательные коэффициенты в другую часть, а положительные заменить многократным сложением.)

Затем в качестве представительного набора надо взять набор, состоящий, во-первых, из всех t_i, во-вторых, из всех средних арифметических (t_i+t_j)/2, и, наконец, из выражений t_i-1 и t_i+1. Ясно, что как бы ни расположились точки t_i на числовой оси, этот набор захватит как минимум по одной точке из каждого промежутка (средние арифметические нужны для интервалов, а прибавление и вычитание единицы — для лучей по краям).

65. Провести это рассуждение подробно.

Возможность элиминации кванторов в только что рассмотренной ситуации ( \mathbb{Q}, {=}, {<}, {+}, рациональные константы) имеет интересное геометрическое применение.

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >
Алексей Васильев
Алексей Васильев
Россия, Новосибирск
David Satseradze
David Satseradze
Грузия, Тбилиси