Контрпример

31. Провести подробно доказательство выводимости в интуиционистском исчислении высказываний всех перечисленных формул.

С другой стороны, многие законы классической логики перестают быть выводимыми без закона исключенного третьего. Таковы, например, формулы

Мы пишем здесь переменные и , а не произвольные формулы, поскольку результат подстановки некоторых формул вместо и может быть выводимой формулой. Например, если вместо в первую из перечисленных формул подставить формулу , то получится выводимая формула .

Довольно ясно, что эти формулы не согласуются с интуиционистским подходом. Например, в предпоследней формуле говорится, что если мы опровергли предположение , то мы можем указать на одно из предположений и и предъявить его опровержение. Вряд ли такой переход можно считать обоснованным с интуиционистской точки зрения. Но, разумеется, формальный вопрос о выводимости требует формального ответа.

Начнем с закона исключенного третьего.

Теорема 24.Формула не выводима в интуиционистской логике.

В классической логике каждая пропозициональная переменная может принимать два значения — истина ( И ) и ложь ( Л ). В зависимости от значений переменных каждой формуле также приписывается значение И или Л. Расширим множество истинностных значений, добавив новое значение Н (если угодно, можно считать это сокращением слова "неизвестно"). Мы отождествляли И с единицей, а Л — с нулем, так что логично отождествить Н с числом .

Мы докажем, что интуиционистски выводимые формулы всегда принимают значение И, а формула не такова, и потому не выводима.

Чтобы определить значения формул в трехзначной логике, необходимо задать таблицы истинности для всех пропозициональных связок. Конъюнкцию определим как минимум из двух значений (так что, например, , а ), а дизъюнкцию — как максимум. Отрицание действует так: , , . (Последнее может показаться странным: почему бы не считать, что ? Оказывается, так нельзя — например, потому, что тогда формула , которая выводима в интуиционистской логике, будет иметь значение при .)

Сложнее всего определение истинности для импликации. Мы полагаем, что

для любого истинностного значения , а также что

Назовем формулу -тавтологией, если она принимает значение И при любых значениях переменных из множества . Теперь надо проверить две вещи: (1) все аксиомы интуиционистского исчисления являются -тавтологиями; (2) если посылка импликации и вся импликация являются - тавтологиями, то и заключение тоже является -тавтологией. Второе сразу ясно из определения импликации, а первое надо аккуратно проверять, составив таблицы для всех аксиом. Мы не будем этого подробно делать, поскольку это чисто механическая проверка и поскольку чуть позже мы сможем вывести это из более общего утверждения.

Следовательно, всякая интуиционистски выводимая формула является -тавтологией. Теперь заметим, что формула принимает значение Н при и потому не является -тавтологией — значит, невыводима.

32. Покажите, что всякая -тавтология является тавтологией в обычном смысле.

Использованный нами прием годится не всегда. Например, интуиционистски невыводимая формула является -тавтологией, поскольку (согласно нашему определению) формула может принимать только значения И и Л.

33. Какие из перечисленных нами интуиционистски невыводимых формул являются -тавтологиями?

Более общий способ установления недоказуемости (невыводимости) различных формул доставляют шкалы Крипке (или модели Крипке, как еще говорят).

Чтобы задать шкалу Крипке, нужно:

• указать частично упорядоченное множество , называемое множеством миров;
• для каждого мира указать, какие из пропозициональных переменных считаются истинными в этом мире (остальные переменные считаются ложными в этом мире). Если переменная истинна в мире , мы пишем .

При этом требуется, чтобы было выполнено следующее: если и , то (область истинности любой переменной наследственна вверх).

Когда шкала задана, можно определить истинность любой формулы (в данном мире) индукцией по построению формулы. Мы пишем , если в мире истинна формула . Вот индуктивное определение:

• , если и ;
• , если или ;
• , если в любом мире , в котором истинна формула , истинна также и формула ;
• , если ни в каком мире формула не является истинной.

Формула, не являющаяся истинной (в данном мире), называется ложной (в нем).

Определение истинности для отрицания, как легко проверить, согласовано с пониманием как , где — тождественно ложная (во всех мирах) формула.

Именно определение импликации (и отрицания) использует порядок на множестве миров. Если формула содержит лишь конъюнкции и дизъюнкции, то ее истинность по существу определяется отдельно в каждом мире.

Индукцией по построению формулы легко проверить, что если она истинна в каком-то мире, то истинна и во всех больших мирах. В самом деле, пересечение и объединение двух наследственных вверх множеств также обладает этим свойством, так что для случая конъюнкции и дизъюнкции можно сослаться на предположение индукции. А для импликации даже и этого не нужно, достаточно посмотреть на определение.

Философский смысл шкал Крипке иногда объясняют так. Пусть есть множество возможных состояний цивилизации (миров); означает, что мир может получиться из мира в результате развития цивилизации. Утверждение означает, что в мире установлено, что высказывание истинно. (При этом оно останется истинным и при дальнейшем развитии цивилизации.) Истинность в мире означает, что ни при каком развитии цивилизации из состояния высказывание не станет истинным.

Определение истинности отрицания в шкалах Крипке предвосхитил Пушкин, когда писал "нет правды на земле. Но правды нет и выше, " (Моцарт и Сальери).

34.Во что превращается определение истинности в шкале Крипке, если в ней только один мир? если в ней никакие два мира не сравнимы?