НОУ ИНТУИТ | Моделирование систем. Лекция 2: Моделирование многоканальных систем массового обслуживания

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 30.11.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева

|

Вам нравится? Нравится 32 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

2.3. Пример моделирования системы типа М/М/M/K/M

Система M/M/m/K/M — это система с пуассоновским входящим пото-ком требований, с экспоненциальным законом обслуживания в m приборах, с допустимым числом требований в системе, не превышающим K, и с ограниченным числом источников нагрузки, которые создают поток из требований. Общее число K требований в системе заключено в интервале $m \le K \le M$ , где — число требований, формируемых конечным числом источников нагрузки.

Предполагается, что требования, поступающие в систему, когда в ней уже имеется требований, теряются и немедленно возвращаются в группу поступающих так, как будто бы они полностью обслужены. Для описанного функционирования системы и ее заданного буквенного обозначения можно определить ее параметры в соответствии с процессом размножения и гибели в следующем виде:

$\lambda_{k}= \left \begin{cases} \lambda(M-k), 0\le k \le K-1, \lambda=const;\\ 0\mbox{ }\mbox{ в остальных случаях}\\ \end{cases} \right.\\ \\ \\ \mu_{k}= \left \begin{cases} k\mu, 0\le k \le m, \mu=const;\\ m\mu, m\le k \le K.\\ \end{cases} \right.$

Диаграмма интенсивностей переходов для системы M/M/m/K/M будет представлять собой конечный размеченный граф состояний, который показан на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Граф состояний системы M/M/m/K/M

На рис. 2.5 вертикальными штриховыми линиями размечены границы между состояниями системы, с помощью которых можно найти стационарные вероятности состояний по следующему мнемоническому правилу: на границе раздела двух состояний размеченного графа поток вероятности слева от границы равен потоку вероятности справа от границы.

Для определения дифференциальных уравнений относительно вероятностей состояний следует каждое состояние описать воображаемой окружностью и далее применить мнемоническое правило составления дифференциальных уравнений Колмогорова: производная вероятности любого состояния равна сумме потоков вероятности, переводящих систему в это состояние, минус сумма всех потоков вероятности, выводящих систему из этого состояния [4].

Запишем следующее выражение для определения стационарных вероятностей состояний от до m – 1 :

$p_{k}=p_{0}\rho^{k}C_{M}^{k},\mbox{ }0\le k\le m-1,$

где:

$C_{M}^{k}=\frac{M!}{k!(M-k)!}$ — биномиальные коэффициенты;

$\rho = \lambda / \mu$ ,

$p_{0}=\frac{1}{\sum\limits_{k=0}^{m-1} \rho^{k}C_{M}^{k}+\sum\limits_{k=m}^{K} \rho^{k}C_{M}^{k}\frac{k!m^{m-k}}{m!}}$ — вероятность нулевого состояния.

Расчет вероятностей состояний от до :

$p_{m+r}=p_{0}\rho^{m+r}C_{M}^{m+r}\frac{(m+r)!}{m!m^{r}},\mbox{ }r=0,1,2,...,K-m.$

Если в последнем выражении сделать замену m+r=k , r=k-m , то получим

$p_{k}=p_{0}\rho^{k}C_{M}^{k}\frac{k!m^{m-k}}{m!},\mbox{ }m\le k\le K.$

Вероятность нулевого состояния была определена из нормировочного условия:

$\sum\limits_{k=0}^{K} p_{k}=1.$

Рассмотрим случай, когда система M/M/m/K/M работает в режиме чистых потерь, т. е. когда параметры системы удовлетворяют условию $M\ge K=m$ . Расчет вероятностей состояний будет определяться при K = m :

$p_{k}=\frac{\rho^{k}C_{M}^{k}}{\sum\limits_{i=0}^{m}\rho^{i}C_{M}^{i}},\mbox{ }k=0,1,2,...,m.$

Распределение вероятностей в соответствии с последней формулой называется распределением Энгсета .

В соответствии с размеченным графом состояний и с помощью мнемонического правила составим следующие дифференциальные уравнения относительно вероятностей состояний системы:

$\frac{dP_{0}}{dt}=-M\lambda P_{0}+\mu P_{1};\\ \frac{dP_{1}}{dt}=M\lambda P_{0}-[(M-1)\lambda +\mu] P_{1}+2\mu P_{2};\\ \frac{dP_{2}}{dt}=(M-1)\lambda P_{1}-[(M-2)\lambda +2\mu] P_{2}+3\mu P_{3};\\ .............................\\ \frac{dP_{m}}{dt}=[M-(m-1)]\lambda P_{m-1}-[(M-m)\lambda +m\mu] P_{m}+m\mu P_{m+1};\\ .............................\\ \frac{dP_{K-1}}{dt}=[M-(K-2)]\lambda P_{K-2}-\{[M-(KI-1)]\lambda +m\mu\} P_{K-1}+m\mu P_{K};\\ \frac{dP_{K}}{dt}=[M-(K-1)]\lambda P_{K-1}-m\mu P_{K}.$