НОУ ИНТУИТ | Моделирование систем. Лекция 2: Моделирование многоканальных систем массового обслуживания

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 30.11.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева

|

Вам нравится? Нравится 30 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Цель работы: практически освоить моделирование систем массового обслуживания в программных средах MATLAB и GPSS/PC при пуассоновском входном потоке требований, экспоненциальном обслуживании и возможном уходе из очереди также по экспоненциальному закону. Цель моделирования — получение операционных характеристик.

Ключевые слова: многоканальная система массового обслуживания, поток требований, поток вероятности, поток, Произведение, граф, Окружность, производные, GPSS, интегрирование дифференциального уравнения, средняя длина очереди, вероятность отказа, относительная пропускная способность, абсолютная пропускная способность, граница раздела, биномиальные коэффициенты, распределение Энгсета, решение дифференциального уравнения, среднее число требований в системе, среднее время пребывания одного требования в системе, среднее время пребывания требования в очереди, вероятность отказа в обслуживании, переходная вероятность, матрица, график функции, несовместное событие

Теоретическая часть

Многоканальные системы массового обслуживания — это системы с параллельно включенными приборами обслуживания. Для них принято использовать символику Кендалла, которая состоит из основных четырех позиций вида A/B/m/K/М , где — закон поступления требований в систему, — закон обслуживания требований, m — число параллельно функционирующих приборов (каналов, узлов) обслуживания, — допустимое число требований в системе, т. е. число требований в очереди плюс число требований, принятых на обслуживание. В системе A/B/m/K/М последний символ — число источников нагрузки [2]. При этом параметры системы постоянны, а процессы в системах рассматриваются с позиций теории размножения и гибели.

Предметом данной лабораторной работы будут системы с простейшим пуассоновским потоком, экспоненциальным обслуживанием и, возможно, экспоненциальном уходом из очереди "нетерпеливых" требований. При сделанных условиях исследуемые системы будут иметь следующие обозначения: M/M/m/K , M/M/m/K с нетерпеливыми требованиями, M/M/m/K/M , где первые буквы означают пуассоновский поток требований и экспоненциальное обслуживание, а в последнем примере крайняя правая буква — это число требований, формируемых конечным числом источников нагрузки. В частности, может быть система с отказами, т. е. M/M/m с отказами.

При моделировании сначала требуется составить дифференциальные уравнения относительно вероятностей состояний. Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями Колмогорова [2]. При правильном составлении уравнений их решения при заданных начальных условиях стремятся к своим установившимся значениям. Эти значения называются стационарными вероятностями, на основе которых рассчитываются операционные характеристики системы.

Для составления уравнений Колмогорова можно использовать мнемоническое правило [4]. Сначала определим понятие потока вероятности: это такой поток, который переводит систему из одного состояния в другое соседнее и определяется как произведение вероятности $P_{i}(t)$ -го состояния, из которого происходит переход, на интенсивность потока событий (интенсивность поступления требований или интенсивность обслуживания). Теперь приведем мнемоническое правило составления уравнений Колмогорова: производная вероятности любого состояния равна сумме потоков вероятности, переводящих систему в это состояние, минус сумма всех потоков вероятности, выводящих систему из этого состояния [4].

Прежде чем применять правило Колмогорова, целесообразно изобразить размеченный граф состояний заданной системы. На рис. 2.1 показан пример размеченного графа состояний для системы M/M/3/5 ( m = 3 , K = 5 , $\lambda$ — интенсивность входного потока требований, $\mu$ — интенсивность обслуживания одним прибором).

Рис. 2.1. Размеченный граф состояний системы М/М/3/5

Используем мнемоническое правило составления уравнений Колмогорова для состояния 2, которое обведено окружностью. При этом потоки вероятности будут направлены по стрелкам. Если стрелка входит в окружность, то поток вероятности принимается положительным. Если стрелка выходит из окружности, то поток вероятности будет отрицательным. Относительно каждого состояния можно проводить воображаемую окружность. Дифференциальные уравнения имеют следующий вид:

$\frac{dP_{0}}{dt}=-\lambda P_{0}+\mu P_{1};\\ \frac{dP_{1}}{dt}=\lambda P_{0}-(\lambda +\mu) P_{1}+2\mu P_{2};\\ \frac{dP_{2}}{dt}=\lambda P_{1}-(\lambda +2\mu) P_{2}+3\mu P_{3};\\ \frac{dP_{3}}{dt}=\lambda P_{2}-(\lambda +3\mu) P_{3}+3\mu P_{4};\\ \frac{dP_{4}}{dt}=\lambda P_{3}-(\lambda +3\mu) P_{4}+3\mu P_{5};\\ \frac{dP_{5}}{dt}=\lambda P_{4}-3\mu P_{5};\\$

( 2.1)

Для решения систем дифференциальных уравнений типа (2.1) обычно задают естественные начальные условия:

$P_{0}(0)=1,\qquad P_{i}(0)=0,\qquad i=\overline{1,5}.$

( 2.2)

Если в системе (2.1) производные приравнять нулю, то можно будет получить соотношения для расчета стационарных вероятностей состояний системы. При этом следует использовать нормировочное условие для n = 5 :

$\sum\limits_{k=0}^{5} P_{k}(t)=1.$

( 2.3)

Практическая часть

2.1. Пример моделирования системы типа М/М/M/K

Система M/M/m/K — это система с пуассоновским входящим потоком требований, с экспоненциальным законом обслуживания в m приборах, с допустимым числом требований в системе, не превышающим , которое не менее, чем заданное количество приборов обслуживания. Параметры системы постоянны, т. е. $\lambda = const$ , $\mu = const$ . Систему M/M/m/K называют многоканальной системой массового обслуживания с ограниченной длиной очереди.

Пример 1. Проинтегрируйте систему массового обслуживания М/М/4/7 при естественных граничных условиях и параметрах $\lambda = 1.23$ , $\mu = 0.678$ . Рассчитайте операционные характеристики системы [2].

Для решения примера сначала составим дифференциальные уравнения в соответствии с мнемоническим правилом Колмогорова:

$\frac{dP_{0}}{dt}=-\lambda P_{0}+\mu P_{1};\\ \frac{dP_{1}}{dt}=\lambda P_{0}-(\lambda +\mu) P_{1}+2\mu P_{2};\\ \frac{dP_{2}}{dt}=\lambda P_{1}-(\lambda +2\mu) P_{2}+3\mu P_{3};\\ \frac{dP_{3}}{dt}=\lambda P_{2}-(\lambda +3\mu) P_{3}+4\mu P_{4};\\ \frac{dP_{4}}{dt}=\lambda P_{3}-(\lambda +4\mu) P_{4}+4\mu P_{5};\\ \frac{dP_{5}}{dt}=\lambda P_{4}-(\lambda +4\mu) P_{5}+4\mu P_{6};\\ \frac{dP_{6}}{dt}=\lambda P_{5}-(\lambda +4\mu) P_{6}+4\mu P_{7};\\ \frac{dP_{7}}{dt}=\lambda P_{6}-4\mu P_{7};\\$

Естественные начальные условия:

$P_{0}(0)=1,\qquad P_{i}(0)=0,\qquad i=\overline{1,7}.$

Программный код решения примера в MATLAB:

function MMmK;
clc,close 
% Параметры системы
L = 3.52;
M = 0.678;
m = 4;
K = 7; 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
global A
A = [-L,M,0,0,0,0,0,0;
L,-(L+M),2*M,0,0,0,0,0;
0,L,-(L+2*M),3*M,0,0,0,0;
0,0,L,-(L+3*M),4*M,0,0,0;
0,0,0,L,-(L+4*M),4*M,0,0;
0,0,0,0,L,-(L+4*M),4*M,0;
0,0,0,0,0,L,-(L+4*M),4*M;
0,0,0,0,0,0,L,-4*M];
%% Численное интегрирование дифф. уравнений
P0 = [1;zeros(length(A)-1,1)];
T = [0,20];
[t,P] = ode23(@cmo, T, P0);
 
%% Построение диаграммы вероятностей состояний
%% line(t,P,'linew',2) %% с различными цветами
line(t,P(:,1),'linew',2, 'color','r') %% Po
line(t,P(:,2), 'linew',2,'lines','--') %% P1
line(t,P(:,3), 'linew',2,'lines','-.') %% P2
line(t,P(:,4), 'linew',2,'lines',':') %% P3
line(t,P(:,5), 'marker','o', 'color', 'm') %% P4
line(t,P(:,6), 'marker','h', 'color','k') %% P5
line(t,P(:,7), 'marker','p','color','r') %% P6
line(t,P(:,8), 'marker','>') %% P7
grid on
N = length(A)-1;
arr = [0:N]';
str = num2str(arr);
legend(strcat('\bf\itP\rm\bf_', str, '(\itt\rm\bf)'));
title(sprintf('%s Вероятности состояний системы M/M/%d/%d', '\bf\fontsize{12}',m, K));
xlabel('\bf\it\fontsize{12} -  -  -  -  -  -  -  -   t   -  -  -  -  -  -  -  -')
ylabel('\bf\fontsize{12}\itP\rm\bf(\itt\rm\bf)');
set(gca, 'fontweight','bold', 'fontsize',10)

fprintf('\n Стационарные вероятности:\n');
for J = 1 : length(A)
    fprintf('\tP%d = %f\n', J-1, P(end,J));
end
 fprintf('\n\t ОПЕРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ:\n');
Pnot = P(end,end);

fprintf(' Вероятность отказа Pnot = %f\n', P(end,end));
Q = 1 - Pnot;
fprintf(' Относительная пропускная способность Q = %f\n', Q);
Ab = L*Q;
fprintf(' Абсолютная пропускная способность A = %f\n', Ab);
Pq = sum(P(end, m+1:end));
fprintf(' Вероятность наличия очереди Pq = %f\n', Pq);
Ps = sum(P(end, m:end));
fprintf(' Вероятность загрузки всех каналов обслуживания Ps = %f\n', Ps);
 
Ns = [0:length(A)-1]*P(end,:)';
fprintf(' Среднее количество требований в системе Ns = %f\n', Ns);
fprintf(' Среднее время пребывания требования в системе Ts = %f\n', Ns/L);
Nq = [0:(K-m)]*P(end,m:K)';
fprintf(' Средняя длина очереди Nq = %f\n', Nq);
fprintf(' Среднее время пребывания требования в очереди Tq = %f\n', Nq/L);
 
 
function f = cmo(t,P);
%% Функция описания правых частей 
%% дифференциальных уравнений
global A
f = A*P;

Результат выполнения программы

Стационарные вероятности:
	P0 = 0.004352
	P1 = 0.022604
	P2 = 0.058629
	P3 = 0.101614
	P4 = 0.131597
	P5 = 0.171220
	P6 = 0.221807
	P7 = 0.288176

	 ОПЕРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
 Вероятность отказа: Pnot = 0.288176
 Относительная пропускная способность: Q = 0.711824
 Абсолютная пропускная способность: A = 2.505620
 Вероятность наличия очереди: Pq = 0.812800
 Вероятность загрузки всех каналов обслуживания: Ps = 0.914415
 Среднее количество требований в системе: Ns = 5.175269
 Среднее время пребывания требования в системе: Ts = 1.470247
 Средняя длина очереди: Nq = 1.139458
 Среднее время пребывания требования в очереди: Tq = 0.323710

Среднее время пребывания требования в системе было рассчитано по формуле Литтла. Для расчета среднего времени пребывания требования в очереди использовался аналог формулы Литтла [2].

Диаграмма с вероятностями состояний системы М/М/4/7 показана на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Вероятности состояний системы М/М/4/7

Задание 1

Рассчитайте нормировочное условие для трех значений времени.
Определите вероятность того, что в системе будет не более требований. Значение выбирайте случайно по равномерному закону из интервала целых чисел (см. ).
Примените диалоговое окно (см. ) для ввода параметров системы.
Напишите программу для произвольно задаваемых параметров системы $\lambda$ , $\mu$ и значений , . Предусмотрите также ввод длительности интервала интегрирования.