Решения задач
И, наконец, равенство (7.8) следует из того, что собственные числа оператора имеют вид
, где
и
— собственные числа
и
, соответственно.
7.3. Достаточно проверить для двух сомножителей. Имеем




7.4 Обозначим . Будем искать оператор в виде
, где унитарный оператор
сохраняет
. Для такого
, очевидно, выполняется равенство








Теперь нам потребуется следующая лемма.
Лемма. Пусть и
— подпространства конечномерного пространства
, такие что
,
. Тогда найдется унитарный оператор
, такой что
и
. (Значит, и
.)
Доказательство. Возьмем оператор . Сразу видно, что он переводит
в
и
в
. Для нормы
имеем оценку













Чтобы применить лемму, необходимо оценить величину . Имеем
(
приближает
в расширенном смысле с точностью
). Обозначая
, получаем


7.5 Схему для оператора можно построить, используя элемент Фредкина
— управляемый обмен битами. Элемент Фредкина задается соотношениями

![F[1,2,3]=\Lambda(\qxor)[1,2,3]\ \Lambda(\qxor)[1,3,2]\ \Lambda(\qxor)[1,2,3]](/sites/default/files/tex_cache/8db3dd59aa3977398781fcd7a793d4cf.png)

На рис. 15.7 показано, как из схемы для оператора , сохраняющего
, построить схему для
. В прямоугольниках происходит управляемый обмен q-битами (параллельно действует нужное количество элементов Фредкина). Если управляющий q-бит равен
, то на вход схемы, вычисляющей
, будет подан
, в противном случае —
.
7.6 Каждый из рассматриваемых поворотов порождает всюду плотное подмножество в подгруппе поворотов относительно фиксированной прямой. Поэтому осталось доказать, что повороты относительно двух различных прямых порождают . Для этого достаточно доказать, что подгруппа, порожденная всеми поворотами относительно двух различных прямых, действует транзитивно на сфере (или на проективной плоскости — множестве одномерных подпространств). Справедливость этого факта очевидна из рис. 15.8 (если можно перемещаться по двум семействам параллелей, то из любой точки на сфере можно попасть в любую другую). Строгое доказательство получается аналогично решению задачи 7.7.
Замечание. Это решение неконструктивно: нельзя дать никакой верхней оценки на количество поворотов , композиция которых приближает заданный элемент
с заданной точностью
. Причина неконструктивности состоит в следующем. Поворот на угол
, где
— иррациональное, порождает всюду плотное подмножество в группе поворотов относительно фиксированной прямой (эта группа, очевидно, изоморфна
). Однако число
может очень хорошо приближаться рациональными числами (это имеет место, когда коэффициенты цепной дроби, представляющей
, очень быстро растут). Тогда любое
приближается элементами вида
(
) с любой точностью
, но число
может быть сколь угодно велико: больше, чем любая наперед заданная функция
.
Конструктивное доказательство и эффективный (при фиксированных и
) алгоритм построения аппроксимаций довольно сложны [4].
7.7 Обозначим , тогда
— стабилизатор
. Так что утверждение задачи приобретает вид: объединение стабилизаторов двух несовпадающих одномерных подпространств порождает
.
Достаточно показать, что группа , порожденная
, действует транзитивно на множестве единичных векторов. Действительно, пусть для каждого
найдется оператор
, такой что
. Тогда

Доказываем транзитивность действия группы . Заметим, что

где обозначают углы между
и
,
соответственно:
,
,
. В последующих формулах используется также угол
между векторами
и
:
,\,
.
Можно проверить, что при






7.8 Поскольку , то стандартный базис содержит полный базис для классических обратимых вычислений (см. задачу 6.1). Это, благодаря задаче 7.5, позволяет реализовать операторы
для всех элементов базиса, кроме
.
Теперь рассмотрим оператор , который, в силу сказанного, реализуется в стандартном базисе (оператор
сохраняет
). Подействуем им на
двумя возможными способами:
,
. Операторы
,
также реализуются в стандартном базисе.
Заметим, что операторы ,
(следовательно, и
,
) сохраняют векторы
и
. Кроме того, вычислениями проверяется, что
,
не коммутируют и имеют, помимо 1, собственные числа
. В
оператору с такими собственными числами соответствует поворот на угол
. Поскольку
не являются корнями из
(и даже целыми алгебраическими числами, так как их след равен
), угол
несоизмерим с
. А поскольку эти операторы не коммутируют, им соответствуют повороты вокруг различных прямых. Поэтому
,
порождают всюду плотное подмножество в
, где
(см. задачу 7.6).
Для завершения доказательства дважды применим результат задачи 7.7. Операторы ,
порождают всюду плотное множество в
, оператор
сохраняет
и не сохраняет
. Так что
,
,
,
порождают всюду плотное множество в
. Оператор
не сохраняет
; применяя результат задачи 7.7 еще раз, получаем всюду плотное множество в
.
7.9 Из предыдущей задачи следует, что можно реализовать оператор с точностью до фазового множителя,
. Оператор
реализуется точно. Возьмем дополнительный q-бит в состоянии
и применим
. Неизвестный фазовый множитель сокращается.
7.10 В базисе ,
оператор
диагонализуется, так что в этом базисе
имеет вид
























Итак, мы получили реализацию всех операторов из с точностью до фазового множителя. Осталось использовать задачу 7.9 для того, чтобы реализовать
.
7.11 Любое вращение трехмерного пространства представляется как композиция трех поворотов: на угол вокруг оси
, затем на угол
вокруг оси
, затем на угол
вокруг оси
. Поэтому любой оператор, действующий на одном q-бите, представляется в виде
![]() |
( *) |
Каждый из операторов в правой части выражается через
и управляемые фазовые сдвиги:

Таким образом, для решения задачи достаточно построить схему, представляющую управляемый фазовый сдвиг с точностью
.
Выберем такое , что
. Предположим, что у нас в распоряжении есть
-битовый регистр в состоянии







(Классический) оператор можно задать схемой линейного размера в стандартном базисе. Если
— нечетно, то выбором подходящего
можно представить оператор
с точностью
.
Вместо того, чтобы строить схему, порождающую , будем брать смесь
при разных
, измерять значение
и выбирать
, соответствующее этому измеренному значению. Опишем требуемые действия.
- Создаем векторЗаметим, что
реализуется точно в стандартном базисе.
- Произведем измерение
с вероятностью ошибки
; оно может быть представлено оператором
где, а векторы
и
— единичной длины. Заметим, что точность — квадратный корень из вероятности ошибки:
- Найдем такое
, что
.
- Применим
к рабочему
-битовому регистру, используя бит, в котором нужно сделать фазовый сдвиг, в качестве управляющего.
- Обратим вычисления, сделанные на шагах 1 — 3.
Чтобы вероятность ошибки была меньше , нужны
элементарных измерений для каждого из операторов
,
,
. Поскольку
, общий размер схемы —
.