НОУ ИНТУИТ | Исследование операций и модели экономического поведения. Лекция 18: Выбор решений при неизвестных состояниях природы (игры с природой)

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Статистические игры

В рассмотренных операциях с испытаниями правило выбора решения $a \in A$ (в зависимости от исхода испытания $z \in Z$ ) можно описать как некоторую функцию

$a = d(z),\quad a \in A,\quad z \in Z.$

( 17.12)

Эту функцию называют стратегией статистика или решающей функцией. Класс всех решающих функций будем обозначать символом D.

Функция (17.12) сопоставляет каждому решению $a\in A$ некоторое подмножество $Q_a \subset Z$ исходов испытаний, порождающих это решение, т.е.

$Q_a = \{z \in Z\colon d(z) = a\},\quad a \in A.$

( 17.13)

Множества Q_a из (17.13), соответствующие разным решениям a, не пересекаются друг с другом. При этом их объединение совпадает с множеством всех исходов из (17.7). Т.е. любая решающая функция $d\in D$ порождает разбиение множества исходов Z на подмножества Q_a из (17.13) и, следовательно, может быть конструктивно задана таким разбиением.

Пусть задано априорное распределение вероятностей $\xi$ для состояний природы из (17.6) и семейство функций $p_\omega$ из (17.8), характеризующих используемую статистическую схему проведения испытаний с фиксированным объемом выборки. Тогда математическое ожидание потерь статистика, реализующего стратегию $d\in D$ , определяется выражением

$\rho(\xi,d) = \sum_{\omega \in \Omega} \sum_{z \in Z} L(\omega, d(z)) p_\omega(z) \xi(\omega),$

( 17.14)

которое, согласно (17.9)-(17.11), может быть представлено также в виде

$\rho(\xi,d) = \sum_{z\in Z} p(z) \rho(\xi_z, d),$

( 17.15)

$\rho(\xi_z, d) = \sum_{\omega\in \Omega} L(\omega, d(z))\xi(\omega/z).$

( 17.16)

При этом математическое ожидание (17.14), соответствующее априорному распределению $\xi$ , называется функцией априорного риска (или априорным риском ), а математическое ожидание (17,16), соответствующее апостериорному распределению $\xi_z$ , - функцией апостериорного риска (или апостериорным риском ). Заметим, что введенная оценка эффективности стратегий с помощью математического ожидания потерь возвращает нас к уже использованному ранее приему усреднения полезностей (см. обсуждение в "Анализ антагонистической игры на основе принципа максимума гарантированного результата" .

Построенная модель

$\rho(\xi,d),\quad \xi \in \Xi,\ d \in D,$

( 17.17)

в которой возможные стратегии статистика, описываемые решающими функциями $d\in D$ из (17.12), характеризуются априорным риском $\rho(\xi,d)$ из (17.14), зависящим от распределения $\xi \in \Xi$ из (17.16) для состояний природы $\omega \in \Omega$ из (17.5), называется статистической игрой. При этом априорное распределение $\xi$ иногда интерпретируется как смешанная стратегия природы.

Принцип Байеса

При заданном априорном распределении $\xi$ любая стратегия $d\in D$ статистика характеризуется ожидаемыми потерями $\rho(\xi,d)$ из (17.14). Это позволяет рассмотреть задачу выбора стратегии $d_\xi$ , минимизирующей риск при заданном распределении $\xi$ , т.е.

$\rho(\xi, d_\xi) = \min\{\rho(\xi,d)\colon d \in D\}.$

( 17.18)

Стратегия $d_\xi$ из (17.18) называется байесовской решающей функцией (относительно заданного априорного распределения $\xi$ ), а соответствующий ей риск

$\rho(\xi) = \rho(\xi, d_\xi)$

( 17.19)

- байесовским риском .^{6Байес Томас (1702-1761) - английский исследователь
в области теории вероятностей, член Королевского общества (1742). Принцип
выбора, называемый его именем, не упоминается
в опубликованных работах Т.Байеса - см., например,
работы Майстрова Л.Е.: (1)
Теория вероятностей. Исторический
очерк. М.: Наука, 1967; (2) Развитие понятия
вероятности. М.: Наука, 1980.} Из (17.15), (17.18) выводим, что

$\begin{gathered} \rho(\xi, d_\xi) = \min_{d \in D} \sum_{z \in Z} p(z) \rho(\xi_z, d) = \\ =\sum_{z \in Z} p(z) \min_{d \in D} \sum_{\omega\in \Omega} L(\omega, d(z)) \xi(\omega/z) = \\ =\sum_{z \in Z} p(z)\min_{a \in A} \sum_{\omega\in \Omega} L(\omega, a)\xi (\omega/z). \end{gathered}$

Следовательно, байесовское решение a_z, соответствующее конкретному исходу испытания z, может быть получено из условия:

$a_z = d_\xi(z) = {\rm arg} \min\{\rho(\xi_z, a)\colon a \in A\},$

( 17.20)

где $\rho(\xi_z, a)$ есть апостериорный риск, соответствующий решению a при исходе испытания z.

Поскольку множества $\Omega$ и A являются конечными, то условие (17.20) может быть представлено системой неравенств

$\sum_{\omega \in \Om} L(\omega, a_z) \xi(\omega/z) \le \sum_{\omega\in \Omega} L(\omega, a)\xi(\omega/z),\quad a \in A,$

которую, учитывая (17.10), можно привести к виду:

$\sum_{\omega\in \Omega} L(\omega, a_z) p_\omega(z) \xi(\omega) \le \sum_{\omega \in \Omega} L(\omega, a) p_\omega(z) \xi(\omega),\quad a \in A,$

( 17.21)

удобному для определения решения a_z при заданных априорном распределении $\xi$ и исходе испытания z. Заметим, что приведение условий (17.20) к виду (17.21) с использованием соотношения (17.10) предполагает положительность значения p(z) из (17.11). В случае исходов z, вероятность реализации которых является нулевой, в качестве байесовского значения a_z может быть использовано любое решение $a\in A$ . Потери от такого решения не дают вклада в функцию риска - см. (17.11) и (17.14).

Выбор простой гипотезы из конечного множества гипотез}

Пусть функция потерь, соответствующая множествам $\Omega$ и A из (17.5) при m=n, имеет вид:

$L(\omega, a) = w,\ \omega\ne a,\quad L(\omega, a) = 0,\ \omega = a,\quad \omega \in \Omega,\ a \in A,$

( 17.22)

где величина w является положительной.

Замечание 4.2 о простых гипотезах ). Согласно (17.22), решение статистика влечет потери лишь в случае, если его номер во множестве A отличается от номера текущего состояния природы $\omega$ . В связи с этим рассматриваемая операция может интерпретироваться как задача определения текущего состояния природы.

Напомним, что статистик принимает решение после наблюдения исхода z некоторого испытания, модель которого задается набором распределений (17.8). Поэтому выбор конкретного значения $a\in A$ может также интерпретироваться и как заключение о том, что полученный исход порожден распределением p_a(z). Таким образом, при функции потерь вида (17.22) выбор решения, фактически, состоит в принятии гипотезы о том, какое именно распределение вероятностей из набора (17.8) определило реализацию исхода z. Далее, поскольку любое предположение относительно распределения вероятностей наблюдаемой случайной величины называется статистической гипотезой, то можно также говорить о том, что рассматриваемая операция представляет собой задачу принятия статистической гипотезы (относительно распределения вероятностей из (17,8) для наблюдаемой случайной величины z ). Отметим также, что в рассматриваемом случае любое решение $a\in A$ полностью определяет соответствующее распределение вероятностей p_a(z) из (17.8). Статистические гипотезы, обладающие таким свойством, называются простыми. Следовательно, функция потерь вида (17.22) определяет задачу выбора простой статистической гипотезы из множества простых гипотез.