Лекция 18: Выбор решений при неизвестных состояниях природы (игры с природой)

Пример 4.1 (планирование посевов). Руководство сельскохозяйственного предприятия определяет вариант использования имеющихся посевных площадей (100 га), пригодных для выращивания двух типов зерновых культур. Урожайность этих культур и ожидаемые цены (за один центнер) при различных вариантах возможных погодных условий представлены в табл. 4.1.

Данные о затратах на проведение необходимых работ и о вероятной прибыли (также в зависимости от погодных условий предстоящего лета) содержатся в табл. 4.2. При этом прибыль a_ij, которая ожидается от продажи урожая культуры j, выращенной в погодных условиях i, определяется (в расчете на один гектар посевной площади) выражением

Примем, что предприятие может одновременно засеять обе культуры, используя для первой из них часть площадей, задаваемую долей x , а для второй - оставшуюся часть площадей, определяемую долей 1-x. Тогда ожидаемая прибыль от продажи урожая обеих культур (в расчете на один гектар используемой посевной площади) составит (как функция параметра x и погодных условий) величину

При этом, в соответствии со значениями коэффициентов матрицы A из табл. 4.2,

Зависимости (17.1)-(17.3) представлены на рис. 4.1.

Приняв некоторый план использования посевных площадей, определяемый параметром x, , предприятие гарантирует себе ожидаемую (удельную) прибыль

которой соответствует (выделенная на рис. 4.1 толстыми линиями) нижняя огибающая семейства кривых (17.1)-(17.3). Согласно рисунку, стратегия x^*, максимизирующая удельную прибыль (17.4), является решением уравнения E(1,x)=E(3,x). При этом x^*=29/43 и . Т.е. ожидаемая прибыль, соответствующая минимаксной стратегии x^*, составляет (для всей посевной площади) не менее 25,53 тыс. руб.

Напомним, что рассмотренный пример относится к задачам вида (1.17), в которых есть лишь одна сторона, являющаяся носителем интересов. Трудности выбора решений в таких задачах связаны с тем, что исход операции зависит от некоторых неконтролируемых параметров, значения которых влияют на исход операции, но не известны оперирующей стороне. Эти параметры (их роль в рассмотренном выше примере играли неизвестные погодные условия) обычно называют состояниями природы. В связи с этим, обсуждаемый класс задач принятия решений в условиях неопределенности определяют также как игры с природой. При этом следует иметь в виду, что в любой конкретной операции природа не является носителем чьих-либо интересов. Это обстоятельство открывает определенные возможности для прогнозирования неизвестных состояний природы (заметим, такие возможности обычно не могут быть использованы для прогнозирования действий сторон, имеющих свои интересы в операции).