Эквивалентность и порядок. Изоморфизмы

100. Докажите, что линейно упорядоченные множества и (с описанным выше порядком) не изоморфны.

101. Будут ли изоморфны линейно упорядоченные множества и ?

102.Будут ли изоморфны линейно упорядоченные множества и ?

Отображение осуществляет изоморфизм между интервалами и . Но уже не так просто построить изоморфизм между множествами рациональных точек этих интервалов (то есть между и ), поскольку умножение на переводит рациональные числа в иррациональные. Тем не менее изоморфизм построить можно. Для этого надо взять возрастающие последовательности рациональных чисел и , сходящиеся соответственно к и и построить кусочно - линейную функцию , которая переводит в и линейна на каждом из отрезков (рис.7.1 ). Легко понять, что она будет искомым изоморфизмом.

Рис. 7.1. Ломаная осуществляет изоморфизм

103. Покажите, что множество рациональных чисел интервала и множество изоморфны. (Указание: здесь тоже можно построить ломаную; впрочем, у этой задачи есть и другое решение, которое начинается с того, что функция переводит рациональные числа в рациональные.)

Более сложная конструкция требуется в следующей задаче (видимо, ничего проще, чем сослаться на общую теорему 13, тут не придумаешь).

104. Докажите, что множество двоично - рациональных чисел интервала изоморфно множеству . (Число считается двоично - рациональным, если оно имеет вид , где - целое число, а - натуральное.)

Два элемента , линейно упорядоченного множества называют соседними, если и не существует элемента между ними, то есть такого , что . Линейно упорядоченное множество называют плотным, если в нем нет соседних элементов (то есть между любыми двумя есть третий).

Теорема 13. Любые два счетных плотных линейно упорядоченных множества без наибольшего и наименьшего элементов изоморфны.

Доказательство. Пусть и - данные нам множества. Требуемый изоморфизм между ними строится по шагам. После шагов у нас есть два - элементных подмножества и , элементы которых мы будем называть " охваченными", и взаимно однозначное соответствие между ними, сохраняющее порядок. На очередном шаге мы берем какой - то неохваченный элемент одного из множеств (скажем, множества ) и сравниваем его со всеми охваченными элементами . Он может оказаться либо меньше всех, либо больше, либо попасть между какими - то двумя. В каждом из случаев мы можем найти неохваченный элемент в , находящийся в том же положении (больше всех, между первым и вторым охваченным сверху, между вторым и третьим охваченным сверху и т.п.). При этом мы пользуемся тем, что в нет наименьшего элемента, нет наибольшего и нет соседних элементов, - в зависимости от того, какой из трех случаев имеет место. После этого мы добавляем выбранные элементы к и , считая их соответствующими друг другу.

Чтобы в пределе получить изоморфизм между множествами и , мы должны позаботиться о том, чтобы все элементы обоих множеств были рано или поздно охвачены. Это можно сделать так: поскольку каждое из множеств счетно, пронумеруем его элементы и будем выбирать неохваченный элемент с наименьшим номером (на нечетных шагах - из , на четных - из ). Это соображение завершает доказательство.

105. Сколько существует неизоморфных счетных плотных линейно упорядоченных множеств (про наименьший и наибольший элементы ничего не известно). (Ответ: .)

106. Приведите пример двух плотных линейно упорядоченных множеств мощности континуум без наименьшего и наибольшего элементов, не являющихся изоморфными. (Указание: возьмите множества и .)

Теорема 14. Всякое счетное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству множества .

Доказательство. Заметим сразу же, что вместо множества можно было взять любое плотное счетное всюду плотное множество без первого и последнего элементов, так как они все изоморфны.

Доказательство этого утверждения происходит так же, как и в теореме 13 - с той разницей, что новые необработанные элементы берутся только с одной стороны (из данного нам множества), а пары к ним подбираются в множестве рациональных чисел.

107. Дайте другое доказательство теоремы 14, заметив, что любое множество изоморфно подмножеству множества .