Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Базисы Гребнера
9.22. ЛЕММА. Пусть - свободный
-модуль и
- конечное подмножество модуля
. Тогда отношение
редукции
является
нетеровым, т.е. не существует бесконечных цепочек вида
. Следовательно, для любого элемента
существует (не обязательно
единственный) нередуцируемый элемент
, такой, что
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Предположим противное. Всякий ранжир, по определению, вполне упорядочивает
множество термов . Поэтому мы можем выбрать среди
всех бесконечных цепочек редукций цепочку, начинающуюся с элемента
с минимальным относительно ранжира лидером
.
Возможны
две ситуации: либо на некотором шаге редукции терм
редуцируется
и оставшаяся часть цепочки начинается с элемента, все
слагаемые которого меньше, чем
; либо
не
редуцируется ни на каком шаге редукции. В обоих случаях получается
противоречие с
минимальностью выбранной цепочки: в первом случае можно выбрать хвост исходной
цепочки, остающийся после редуцирования
; во
втором - вычесть из всех элементов цепочки терм
.
9.23. ПРЕДЛОЖЕНИЕ.
Множество нередуцируемых относительно отношения элементов является
векторным
-пространством.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Нужно проверить, что если и
-
нередуцируемые элементы и
, то элементы
и
также нередуцируемы. Это
немедленно следует из того, что в
и
присутствуют с ненулевыми коэффициентами только те слагаемые, которые
присутствуют в
и
.
9.24. ЛЕММА. Если множество порождает подмодуль
и
, то существует целое
и элементы
, такие, что для всех
от 1 до
либо
, либо
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Поскольку порождает модуль
, элемент
можно представить в виде суммы















9.25. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
На прямом произведении определим функцию
, такую, что
, если
,
или
, или
не определен; в
остальных случаях
,
где
и
.
9.26. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть - кольцо обобщенных многочленов от переменных
над полем
,
- свободный
-модуль. Предположим, что
- подмодуль свободного модуля
,
- конечное множество и < - ранжир на
множестве термов
.
Множество
называется базисом Гребнера (
-базисом)
подмодуля
, если
для любого ненулевого элемента
имеется представление Гребнера (
-представление):


Недостатком введенного определения является то, что для одного и
того же элемента могут существовать различные -представления. Например, если
,
, то
- два различных
-представления одного и
того же
многочлена. С другой стороны, достаточно сложно проверить, что
некоторый элемент не допускает
-представления. От этих
недостатков можно избавиться, если потребовать, чтобы любой
одночлен мог появляться в
-представлении в качестве лидера
слагаемого
не более чем для одного элемента
. В частности, можно предполагать, что элементы множества
упорядочены, и при выборе линейно независимых элементов вида
мы руководствуемся правилами, сформулированными в
определении нормальной редукции 9.19. Представление
такого вида мы будем называть нормальным
- представлением.
Для формулировки основного результата настоящего параграфа введем некоторые обозначения и докажем две леммы.
9.27. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Для элементов будем писать
, если существует элемент
, такой, что
и
.
9.28. ЛЕММА.
Пусть и
. Тогда
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть , где
и
,
. Если
, то
, где
, тогда


9.29. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Будем говорить, что отношение редукции удовлетворяет условию слияния }, если для любого
элемента
из условий
и
следует, что
.
9.30. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Будем говорить, что отношение редукции удовлетворяет локальному условию слияния, если для любого элемента
из
и
следует, что
.
9.31. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Будем говорить, что отношение редукции удовлетворяет псевдолокальному условию слияния, если для
всех
, таких, что
и
, существует
целое
и элементы
, такие, что
и
для всех
.
9.32. ЛЕММА. Если нетерово отношение удовлетворяет псевдолокальному
условию слияния, то отношение
удовлетворяет условию слияния.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Применим "нетерову" индукцию, т.е. покажем, что если утверждение леммы верно
для всех таких, что
, то оно
верно и для
. Такой индукции достаточно для доказательства
леммы, поскольку в противном случае некоторый элемент
, для
которого утверждение леммы не выполняется, мог бы быть выбран в качестве
первого элемента бесконечной цепочки
для всех элементов которой утверждение
леммы также не выполняется.
Итак, фиксируем и предположим, что для всех элементов
таких, что
, утверждение
леммы выполняется.
Покажем, что оно выполняется и для
. Без потери общности мы
можем предполагать, что данные элементы
и
отличны от
, т.е. имеют место редукции
и
. Элементы
и
удовлетворяют
псевдолокальному условию слияния при некотором~
.
Доказательство будем вести индукцией по . Основание индукции
по
предполагает
, т.е.
и
удовлетворяют
локальному условию слияния. Из условия локального слияния следует, что
существует
, такой, что
и
По предположению внешней индукции
для элементов
и
существует элемент
, такой, что
и
, а также элемент
, такой,
что
и
.
Этот элемент
удовлетворяет условию леммы (см.
рис.
6.1).
Переход от к
иллюстрируется следующей
диаграммой (
рис.
6.2). Пусть
и
удовлетворяют псевдолокальному
условию слияния с цепочкой из
элементов:
. По предположению индукции
элементы
и
удовлетворяют условию слияния (элемент
). Существование элементов
,
и
в приведенной диаграмме
следует из предположения о том, что элементы, которые получены редукцией
элементов, следующих за
, в частности,
,
удовлетворяют условию слияния.
Следующая теорема перечисляет ряд условий, которые равносильны
определению базиса Гребнера. Следует отметить, что среди них
содержатся условия (6') и (7')
и
, позволяющие за конечное число шагов
проверить, является ли выписанная система образующих подмодуля его базисом Гребнера.