Базисы Гребнера

9.22. ЛЕММА. Пусть - свободный -модуль и - конечное подмножество модуля . Тогда отношение редукции является нетеровым, т.е. не существует бесконечных цепочек вида . Следовательно, для любого элемента существует (не обязательно единственный) нередуцируемый элемент , такой, что .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Всякий ранжир, по определению, вполне упорядочивает множество термов . Поэтому мы можем выбрать среди всех бесконечных цепочек редукций цепочку, начинающуюся с элемента с минимальным относительно ранжира лидером . Возможны две ситуации: либо на некотором шаге редукции терм редуцируется и оставшаяся часть цепочки начинается с элемента, все слагаемые которого меньше, чем ; либо не редуцируется ни на каком шаге редукции. В обоих случаях получается противоречие с минимальностью выбранной цепочки: в первом случае можно выбрать хвост исходной цепочки, остающийся после редуцирования ; во втором - вычесть из всех элементов цепочки терм .

9.23. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Множество нередуцируемых относительно отношения элементов является векторным -пространством.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нужно проверить, что если и - нередуцируемые элементы и , то элементы и также нередуцируемы. Это немедленно следует из того, что в и присутствуют с ненулевыми коэффициентами только те слагаемые, которые присутствуют в и .

9.24. ЛЕММА. Если множество порождает подмодуль и , то существует целое и элементы , такие, что для всех от 1 до либо , либо .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку порождает модуль , элемент можно представить в виде суммы

где - коэффициенты, , (могут совпадать при различных значениях ). Доказательство леммы будем вести индукцией по минимальной длине такого представления. Если , то , и утверждение леммы выполнено. Для произвольного мы можем предполагать, что для всех . Положим , . Тогда и , так что можно применить предположение индукции.

9.25. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. На прямом произведении определим функцию , такую, что , если , или , или не определен; в остальных случаях , где и .

9.26. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть - кольцо обобщенных многочленов от переменных над полем , - свободный -модуль. Предположим, что - подмодуль свободного модуля , - конечное множество и < - ранжир на множестве термов . Множество называется базисом Гребнера ( -базисом) подмодуля , если для любого ненулевого элемента имеется представление Гребнера ( -представление):

откуда, в частности, следует, что .

Недостатком введенного определения является то, что для одного и того же элемента могут существовать различные -представления. Например, если , , то - два различных -представления одного и того же многочлена. С другой стороны, достаточно сложно проверить, что некоторый элемент не допускает -представления. От этих недостатков можно избавиться, если потребовать, чтобы любой одночлен мог появляться в -представлении в качестве лидера слагаемого не более чем для одного элемента . В частности, можно предполагать, что элементы множества упорядочены, и при выборе линейно независимых элементов вида мы руководствуемся правилами, сформулированными в определении нормальной редукции 9.19. Представление такого вида мы будем называть нормальным - представлением.

Для формулировки основного результата настоящего параграфа введем некоторые обозначения и докажем две леммы.

9.27. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Для элементов будем писать , если существует элемент , такой, что и .

9.28. ЛЕММА. Пусть и . Тогда .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть , где и , . Если , то , где , тогда

и

9.29. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что отношение редукции удовлетворяет условию слияния }, если для любого элемента из условий и следует, что .

9.30. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что отношение редукции удовлетворяет локальному условию слияния, если для любого элемента из и следует, что .

9.31. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что отношение редукции удовлетворяет псевдолокальному условию слияния, если для всех , таких, что и , существует целое и элементы , такие, что и для всех .

9.32. ЛЕММА. Если нетерово отношение удовлетворяет псевдолокальному условию слияния, то отношение удовлетворяет условию слияния.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим "нетерову" индукцию, т.е. покажем, что если утверждение леммы верно для всех таких, что , то оно верно и для . Такой индукции достаточно для доказательства леммы, поскольку в противном случае некоторый элемент , для которого утверждение леммы не выполняется, мог бы быть выбран в качестве первого элемента бесконечной цепочки для всех элементов которой утверждение леммы также не выполняется.

Итак, фиксируем и предположим, что для всех элементов таких, что , утверждение леммы выполняется. Покажем, что оно выполняется и для . Без потери общности мы можем предполагать, что данные элементы и отличны от , т.е. имеют место редукции и . Элементы и удовлетворяют псевдолокальному условию слияния при некотором~ .

Доказательство будем вести индукцией по . Основание индукции по предполагает , т.е. и удовлетворяют локальному условию слияния. Из условия локального слияния следует, что существует , такой, что и По предположению внешней индукции для элементов и существует элемент , такой, что и , а также элемент , такой, что и . Этот элемент удовлетворяет условию леммы (см. рис. 6.1).

Переход от к иллюстрируется следующей диаграммой ( рис. 6.2). Пусть и удовлетворяют псевдолокальному условию слияния с цепочкой из элементов: . По предположению индукции элементы и удовлетворяют условию слияния (элемент ). Существование элементов , и в приведенной диаграмме следует из предположения о том, что элементы, которые получены редукцией элементов, следующих за , в частности, , удовлетворяют условию слияния.

Следующая теорема перечисляет ряд условий, которые равносильны определению базиса Гребнера. Следует отметить, что среди них содержатся условия (6') и (7') и , позволяющие за конечное число шагов проверить, является ли выписанная система образующих подмодуля его базисом Гребнера.