Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Базисы Гребнера
Базисы Гребнера в полиномиальных, дифференциальных и разностных модулях
Пусть - конечная система
элементов. Через
обозначим свободную
коммутативную полугруппу с единицей (записываемую
мультипликативно),
порожденную элементами множества
. Элементы этой группы
будем называть мономами. Пусть
,
. Порядком монома
будем называть сумму
и обозначать ее будем
.
Предположим, что мономы линейно упорядочены так, что для любого элемента
выполняются следующие условия:
![]() |
( 9.1) |

![]() |
( 9.2) |
Тогда будем говорить, что на множестве мономов задан ранжир.
Следующие примеры показывают, что для одного и того же конечного множества
существуют различные ранжиры.
9.1. ПРИМЕР (лексикографическое упорядочение мономов)
Пусть .
Тогда
, если либо
, либо
для
и
для некоторого
.
9.2. ПРИМЕР (стандартный ранжир)
предположим, что ,
если либо
, либо
и
относительно лексикографического упорядочения.
9.3. ПРИМЕР (упорядочение по полной степени, затем обратное лексикографическое)
Пусть ,
. Положим
, если либо
, либо
и
существует
,
, такое, что
для
и
.
Пусть - поле и
- векторное
-пространство с базисом
.
Определим на
функцию "выделение лидера" следующим
образом: каждый элемент
из
может быть представлен в виде суммы
, где лишь конечное
число
коэффициентов
отлично от нуля (такое представление
определено однозначно с
точностью до порядка слагаемых). Среди всех мономов, входящих в это разложение
с ненулевым коэффициентом, выберем максимальный относительно порядка,
введенного на множестве мономов
. Этот моном будем называть лидером элемента
и обозначать через
. Корректность
такого определения следует из
однозначности разложения элемента векторного пространства по базису и из
линейной упорядоченности множества
.
9.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть задан ранжир на множестве мономов и
-
векторное
-пространство с базисом
. Предположим
далее, что
является
-алгеброй, и
для всех
. Кроме того, предположим, что
для любых
; в частности, образующие
коммутируют между собой. Такое кольцо будем
называть кольцом обобщенных
многочленов от переменных
.
9.5. ПРИМЕР(кольцо коммутативных многочленов над полем)
Рассмотрим любой ранжир на множестве . В
качестве
возьмем алгебру многочленов
от
коммутирующих переменных
над полем
.
Нетрудно
увидеть, что условие
будет выполнено для
всех
, а, следовательно, мы можем рассматривать
как кольцо обобщенных многочленов от переменных
.
9.6. ПРИМЕР(кольцо дифференциальных операторов над
полем) Пусть -
дифференциальное поле с базисным множеством
попарно коммутирующих
между собой дифференцирований. Ранжир на множестве
так же, как
и в примере 9.5, может быть любым. Тогда
кольцо
линейных дифференциальных операторов
над
(см. определение 3.4) будет являться кольцом обобщенных многочленов от неизвестных
.
9.7. ПРИМЕР(кольцо дифференциальных операторов над кольцом
многочленов)
Пусть - дифференциальное поле с базисным множеством
дифференцирований
,
и пусть
- кольцо коммутативных многочленов от переменных
над полем
.
Определим дифференцирования
кольца
следующим образом: если
, то
для всех
. Выберем теперь для
каждого
число
и положим
для
всех
и
. Тогда кольцо
линейных
-операторов над кольцом
будет являться
кольцом обобщенных многочленов от переменных
. Действительно, если мы
рассмотрим такой ранжир, что
для всех
,
, то, как легко доказать,
условие
будет выполнено.
9.8. ПРИМЕР(кольцо разностных операторов над полем)
Пусть - разностное
поле с базисным множеством попарно коммутирующих автоморфизмов
. Тогда
кольцо
линейных разностных
операторов (см. определение 3.9)
будет являться
кольцом обобщенных многочленов от переменных
. В качестве ранжира можно
выбрать любое упорядочение, удовлетворяющее условиям
(9.1)-(9.2).
9.9. ПРИМЕР(кольцо дифференциально-разностных операторов над
полем)
Обобщением примеров 9.6 и 9.8 является случай кольца ,
когда часть переменных соответствует дифференцированиям, а другая часть
- автоморфизмам.
Пусть теперь - кольцо обобщенных многочленов от
переменных
над полем
, и
- свободный
-модуль с
базисом
. Как векторное пространство над
модуль
имеет в качестве базиса прямое
произведение
множеств
и
.
Это множество мы будем называть множеством термов
модуля
,
.
Термы перемножать нельзя, однако определено произведение терма на моном
из
соответствующего кольца многочленов. В дальнейшем мы будем обычно
отождествлять терм
с вектором
.
9.10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ранжиром на
множестве термов будем называть отношение полного
порядка на
, удовлетворяющее следующим условиям:
-
для любого терма
и любого монома
;
- если
, где
, то
для всех
.