Аукционы с зависимыми ценностями
Аффилированные сигналы
Итак, отныне мы отказываемся от предположения, что распределения независимы, и будем считать, что они могут быть коррелированными. В таком случае появляется единая совместная плотность , неравная . Конечно, работать с совсем уж произвольным распределением вероятностей нелегко, и многого о нем доказать не получится. Да и на практике предположение, которое мы сейчас сделаем, представляется в высшей степени разумным. Мы будем предполагать, что сигналы аффилированы.
Определение 9.1. Случайные величины называются аффилированными, если :
где
Аффилированность — это усиленная форма положительной корреляции. По сути она означает, что если некоторая часть значений велика, то остальные значения тоже, скорее всего, будут велики. Согласитесь, что для аукционов с месторождениями, да и вообще для типичной ситуации аукциона с зависимыми ценностями, это предположение выглядит разумным.
Рассмотрим еще одно сугубо математическое определение.
Определение 9.2. Функция называется супермодулярной, если :
Из определений 9.1 и 9.2 мгновенно следует, что компоненты вектора случайных величин аффилированы тогда и только тогда, когда супермодулярна. Чтобы убедиться в этом, достаточно прологарифмировать равенство из определения аффилированной функции. Следующее предложение мы также оставим без доказательства — доказать его будет хорошим упражнением.
Предложение 9.1. Если — гладкая функция, то супермодулярна тогда и только тогда, когда
Сейчас мы будем понемножку устанавливать математические факты о супермодулярных функциях и аффилированных случайных переменных, которые нам потребуются в дальнейшем. Поэтому нетерпеливый читатель может сейчас пропустить остаток этого раздела и возвращаться к нему по мере надобности, когда мы в последующем тексте будем на него ссылаться. Но для полноты картины все же рекомендуем читать по порядку.
Рассмотрим переменные , которые мы уже использовали в предыдущих лекциях. Напомним, что они представляют собой сигналы , упорядоченные в порядке убывания значений.
Совместная плотность случайных величин легко выражается через совместную плотность вектора сигналов . Для этого достаточно заметить, что каждый вектор соответствует ! различных векторов : можно перемешать компоненты как угодно, а получаться все равно будет один и тот же упорядоченный вектор. Поэтому
Значит, если переменные аффилированы, то аффилированными также будут и .
Введем теперь новое определение.
Определение 9.3. Рассмотрим две случайные переменные — и — с функциями распределения и и плотностями распределения и соответственно. Говорят, что:
- доминирует над в терминах отношения правдоподобия (like-li-hood ratio), если функция отношения правдоподобия возрастает, то есть
- доминирует над в терминах доли риска (hazard rate), если доля риска у всегда выше, чем у :
- доминирует над в терминах обратной доли риска (reverse hazard rate), если обратная доля риска у всегда выше, чем у :
-
стохастически доминирует над , если
.
Предложение 9.2.
- Если доминирует над в терминах отношения правдоподобия, то доминирует над в терминах доли риска.
- Если доминирует над в терминах отношения правдоподобия, то доминирует над в терминах обратной доли риска.
- Если доминирует над в терминах доли риска, то стохастически доминирует над .
Доказательство.
- Доминирование в терминах отношения правдоподобия означает, что
.
Это эквивалентно тому, что
.
Проинтегрируем последнее выражение по :
,
или, что то же самое,
. - Как и в первом пункте,
.
Но теперь мы это перепишем слегка по-другому:
.
Снова взяв интеграл, но на этот раз по , получаем:
,
или, что то же самое,
.
- Как известно, функцию распределения можно переписать в терминах доли риска :
(если вам это неизвестно, проверьте сами!). Из этого равенства очевидно, что если для всех , то и для самих функций распределения для всех значений .
Рассмотрим теперь две переменные — и — с совместной плотностью
и, соответственно, функцией совместного распределения
.
Если и аффилированы, то
.
Преобразуем это соотношение:
Последнее равенство означает, что функция отношения правдоподобия
возрастает для всех , то есть доминирует над в терминах отношения правдоподобия для всех . А значит, по предложению 9.2, в таких случаях доминирует над и в терминах доли риска, и в терминах обратной доли риска, и стохастически.
Из стохастического доминирования следует, что для всех функция является неубывающей (поскольку стохастическое доминирование означает, что для любых ). А это, в свою очередь, означает, что условное математическое ожидание тоже является неубывающим как функция от . Отсюда, в частности, следует, что в таком случае величины и положительно коррелируют (так мы доказали, что аффилированность — более сильное понятие, чем положительная корреляция). На самом же деле верно и более сильное утверждение: для всякой неубывающей функции условное ожидание
не убывает как функция от (оставляем доказательство читателю в качестве упражнения).
Итак, вернемся теперь к нашим аукционам. Если сигналы агентов аффилированы, то, следовательно, также будут аффилированы.
Пусть и аффилированы. Если — это распределение , то при условии, что и , доминирует над в терминах обратной доли риска:
Более того, для всякой возрастающей функции , если , то
Вот такие следствия нам удалось извлечь из свойства аффилированности неточных сигналов агентов. В скором времени мы их применим.