Двусторонняя торговля и теорема Вильямса
Теорема Вильямса: общий случай
Итак, мы готовы сформулировать наш основной результат.
Теорема 7.3. (Вильямса) Рассмотрим проблему социального выбора с квазилинейными предпочтениями. Предположим также, что
- множества типов
представляют собой связные открытые подмножества
,
- ожидаемые (interim) внутренние ценности агентов
непрерывно дифференцируемы на
в точках, в которых
.
Тогда механизмы VCG являются правдивыми и эффективными для этой задачи, и ожидаемые (interim) внутренние ценности агентов любого правдивого и эффективного механизма совпадают с ценностями одного из механизмов VCG.
Как обычно, a good formula stays for ever, и формула, которая получится по дороге, будет ничуть не менее важной, чем сама теорема классификации. Давайте ее тоже сформулируем.
Теорема 7.4. (Вильямса) В условиях теоремы 7.3 функция доходности любого правдивого эффективного механизма для любой пары типов имеет вид
![U_i(\theta_i) = U_i(\theta^*_i) + \int_{C}\left.D_{\theta_i}V_i(\theta^*_i\mid\theta_i)\vphantom{1^2}\right|_{\theta^*_i=\tau,\theta_i=\tau}d\tau,](/sites/default/files/tex_cache/417014a221013ecab12e99a66c41af0e.png)
где — гладкая кривая от
к
внутри
,
.
Доказательство. Обозначим через некоторый единичный вектор, через
— некоторое вещественное число. Правдивость гласит, что для всех
![U_i(\theta_i) &\ge& U_i(\theta_i+s\bf{\rho}\mid\theta_i),\\
U_i(\theta_i+s\bf{\rho}) &\ge& U_i(\theta_i\mid\theta_i+s\bf{\rho}).](/sites/default/files/tex_cache/5a6634b29ebb1de79233656a33a650fd.png)
Вычтем из обеих частей первого неравенства; получается:
![U_i(\theta_i\mid\theta_i+s\bf{\rho})-U_i(\theta_i)\le \\
\le U_i(\theta_i+s\bf{\rho})-U_i(\theta_i)\le \\
\le U_i(\theta_i+s\bf{\rho})-U_i(\theta_i+s\bf{\rho}\mid\theta_i).](/sites/default/files/tex_cache/4eacb8b4b7b1a332f821e430a62f88ca.png)
Сократим там слева и справа (они не зависят от истинной ценности, а только от сообщаемой) и разделим на
:
![\frac{V_i(\theta_i\mid\theta_i+s\bf{\rho})-V_i(\theta_i)}{s} \le \\ \le \frac{U_i(\theta_i+s\bf{\rho})-U_i(\theta_i)}{s}\le \\ \le\frac{V_i(\theta_i+s\bf{\rho})-V_i(\theta_i+s\bf{\rho}\mid\theta_i)}{s}.](/sites/default/files/tex_cache/6195bb38e27dbb66daf3a05781f9c495.png)
Устремим теперь . По условию о дифференцируемости
, левая часть сходится к производной функции
по направлению
в точке
.
Правая часть раскладывается на
![\frac{V_i(\theta_i+s\bf{\rho})-V_i(\theta_i)}{s} - \frac{V_i(\theta_i+s\bf{\rho}\mid\theta_i)-V_i(\theta_i)}{s}.](/sites/default/files/tex_cache/662b237a2fd05194d037f12748972f28.png)
Первое слагаемое по тем же причинам сходится к производной по
по направлению
в
, а второе слагаемое — к производной
по
по направлению
в
.
Таким образом, вся правая часть сходится к производной функции по
по направлению
в точке
. Значит,
![D_{\theta_i}U_i(\theta_i) = \left.\vphantom{1^2}D_{\theta_i}V_i(\theta^*_i\mid\theta_i)\right|_{\theta^*_i=\tau,\theta_i=\tau}.](/sites/default/files/tex_cache/05e40a699d488baaa038e6784f129ccc.png)
Отсюда следует утверждение теоремы, потому что производная по предположению непрерывна.
Это весьма показательный метод доказательства. По сути это развитие исходной идеи Майерсона в максимальной (или близкой к тому) общности. Видно, что откуда берется во всех таких теоремах: нужно взять изменение (приращение ) и посмотреть, что от него изменится; а затем устремить
(то есть длину вектора приращения) к нулю. В результате получится результат об исходных функциях; единственное, за чем нужно следить — это за тем, какие предположения о непрерывности и дифференцируемости использовались по дороге.
Рациональность
Давайте применим теорему Вильямса в контексте, обобщающем теорему 7.1. Мы бы хотели создавать рациональные механизмы. Посмотрим, когда это получится.
Теорема 7.5. Рассмотрим проблему социального выбора с квазилинейными предпочтениями. Предположим, что множества типов представляют собой интервалы:
. Тогда в предположениях теоремы 7.3 минимальная субсидия, которая требуется рациональному, правдивому и эффективному механизму, равна
![\min\left\{0, -(N-1)\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum\limits_{i=1}^Nv_i(a(\mathbf\theta),\theta_i)\right] + \sum\limits_{i=1}^NU_i(\underline{\theta}_i)\right\}.](/sites/default/files/tex_cache/85c803f347ce631a1768bff86df74cb5.png)
Значит, рациональные, правдивые и эффективные механизмы со сбалансированным бюджетом существуют тогда и только тогда, когда
![(N-1)\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum\limits_{i=1}^Nv_i(a(\mathbf\theta),\theta_i)\right] \le \sum\limits_{i=1}^NU_i(\underline{\theta}_i).](/sites/default/files/tex_cache/e1ba447969dcfc07620c8e71ba38f6fd.png)
Доказательство. По теореме Вильямса, достаточно рассмотреть механизмы VCG. Для них ожидаемая сумма трансферов
![\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum\limits_{i=1}^Np_i(\mathbf\theta)\right] = -\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j\neq i}v_j(a(\mathbf\theta),\theta_j)\right] + \sum\limits_{i=1}^Nk_i = \\ = -(N-1)\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum_{i=1}^Nv_i(a(\mathbf\theta),\theta_i)\right] + \sum\limits_{i=1}^Nk_i.](/sites/default/files/tex_cache/e645ee3a3a5b3aa48ada7bfb75f84145.png)
По рациональности, для всех
. Отсюда и получается утверждение теоремы.