Подстановки, перестановки

Перестановки и транспозиции

Рассмотрим перестановку двух элементов i и j, , в перестановке (i₁,...,i_n) (все остальные элементы, отличные от i, j, остаются на своих местах). Эта процедура называется транспозицией перестановки (i₁,...,i_n).

Лемма 5.2.1.

1. Умножение слева (i j)f подстановки
   
   на цикл (i j) длины 2 приводит к транспозиции элементов i и j в нижней строке (перестановке) (j₁,...,j_n).
2. Умножение справа f(i j) подстановки
   
   на цикл (i j) длины 2 приводит к транспозиции элементов i и j в верхней строке (перестановке) (i₁,...,i_n).

Доказательство.

Лемма 5.2.2 (о списке перестановок). Все n! перестановок из n элементов {1,2,...,n} можно расположить в список, начиная с произвольной перестановки (i₁,i₂,...,i_n), так, что каждая следующая перестановка в этом списке получается из предыдущей с помощью некоторой транспозиции двух элементов.

Доказательство. Проведем индукцию по n. Начало индукции n=2, n!=2, наши списки:

Пусть наше утверждение верно для всех k, k<n. Пользуясь этим, создадим первый блок из различных (n-1)! перестановок с i_1 на первом месте (т. е. перестановок из элементов {i₂,...,i_n} ), при этом каждая следующая перестановка получается из предыдущей с помощью транспозиции:

Совершая транспозицию i₁ и i₂ в последней перестановке первого блока и повторяя наше рассуждение, построим второй блок из различных (n-1)! перестановок с i₂ на первом месте (т. е. перестановок элементов {i₁,i₃,...,i_n} ), при этом каждая следующая перестановка получается из предыдущей применением транспозиции:

Продолжая этот процесс, получим n блоков из (n-1)! перестановок каждый, всего n! перестановок. Они все различны: в одном блоке по индуктивному предположению, в разных блоках перестановки различаются на первом месте. Таким образом, в этом списке присутствуют все n! перестановок из n элементов, при этом каждая следующая получается из предыдущей с помощью одной транспозиции.

Следствие 5.2.3. От любой перестановки (i₁,...,i_n) можно перейти к любой другой перестановке (j₁,...,j_n) с помощью конечного числа транспозиций.

Доказательство. В списке с началом (i₁,...,i_n) надо найти перестановку (j₁,...,j_n).

Следствие 5.2.4. Каждая подстановка

Доказательство. Составим список перестановок, начинающийся с перестановки (1,2,...,n), в котором каждая l -я перестановка получается из (l-1) -й транспозицией элементов i_l-1 и j_l-1, и найдем в нем нашу перестановку (k₁,...,k_n) из канонической записи подстановки (пусть она занимает (r+1) -е место). Тогда (по лемме об умножении слева на цикл длины два)

Замечание 5.2.5. Ясно, что представление подстановки в виде произведения транспозиций возможно разными способами (например, (1 2)=(1 2)³ ).