Основные алгебраические структуры и операции

Отображения множеств

Пусть U, V - непустые множества, - (однозначное) отображение из множества U в множество V, т. е. каждому элементу сопоставляется элемент .

Замечание 1.4.1.

1. Сохраняя единообразие с курсом анализа, мы обозначаем применение отображения f к элементу через f(u), т. е. f пишем слева от u. Возможно (а иногда и удобнее) было бы использовать обозначение uf.
2. Если , то f=f', если для любого имеем f(u)=f'(u).
3. Категория Set, в которой объекты - множества, морфизмы - отображения множеств, является одной из основных категорий в математике.

Инъективные, сюръективные, биективные отображения

Рассмотрим образ отображения

Можно рассмотреть также полезное отношение эквивалентности на множестве U, определяемое отображением ,

Определение 1.5.1.Отображение называется:

1. инъективным, если разные элементы в U при отображении f переходят в разные элементы в V (т. е. ),
2. сюръективным, если каждый элемент в V является образом некоторого элемента из U (т. е. , другими словами, ),
3. биективным, если отображение f инъективно и сюръективно (т. е. ).

Замечание 1.5.2.

1. В более ранней математической литературе для биективного отображения использовалась более длинная комбинация слов: "взаимно однозначное отображение на",
2. иногда для сюръективного отображения мы будем говорить, что " f отображает множество U на множество V ".

Задачи 1.5.3.

1. Пусть |U|=m, |V|=n. Доказать, что .
2. Пусть |U|=m, L(U) - совокупность всех подмножеств множества U (включая пустое подмножество). Доказать, что |L(U)|=2^m.

   Указание.

   Для подмножества рассмотреть его характеристическую функцию

   Следствие

   .
3. Найти число инъективных (сюръективных) отображений , где |U|=m, |V|=n.

Пример 1.5.4.

1. Отображение f: N -> N, f(n)=n+1, является инъективным, но не является сюръективным.
2. Отображение f: N -> N, f(1)=1 и f(n)=n-1 для n>1, является сюръективным, но не является инъективным.
3. Тождественное отображение , 1_U(u)=u для всех , очевидно, является биекцией.

Лемма 1.5.5. Пусть U - конечное множество, . Тогда равносильны условия:

1. f - инъективное отображение;
2. f - сюръективное отображение.

Доказательство.

Пусть . Так как - инъективное отображение, то . Поскольку , , то , т. е. f - сюръективное отображение.

Допустим противное, т. е. что не является инъективным отображением. Тогда для некоторых , . Следовательно, |Im f|<n=|U|, поэтому Im f<U, т. е. отображение f не является сюръективным, что приводит к противоречию.

Замечание 1.5.6.

Условие конечности множества U в лемме 1.5.5 существенно, как показывает пример 1.5.4. Более того, это соображение может быть использовано для характеризации конечных множеств в терминах отображений.