Добрый день. Я приступила сегодня к самостоятельному изучению курса "Моделирование систем". Хочу понять - необходимо ли отсылать мои решения практических заданий на сайт, (и если да - то где найти волшебную кнопку "Загрузить...") или практические задания остаются полностью на моей совести? (никто не проверяет, и отчётности по ним я предоставлять не обязана?) P.S.: тьютора я не брала |
Построение интервальных оценок параметров вероятностных распределений
Теоретическая часть
При оценивании неизвестных параметров часто используются интервальные оценки, которые позволяют получить вероятностную характеристику точности оценивания неизвестного параметра. Метод интервальных оценок применяется в случае небольшого числа наблюдений, по которым необходимо произвести оценку параметра [6].
Пусть — случайная выборка объема
из генеральной совокупности
с функцией распределения
, зависящей от параметра
, значение которого неизвестно. Предположим, что для параметра
построен интервал
, где
и
являются функциями случайной выборки
, такими, что выполняется равенство
![]() |
( 6.1) |
В этом случае интервал называют интервальной оценкой для параметра
с коэффициентом доверия
(или, сокращенно,
- доверительной интервальной оценкой ), а
и
, соответственно, нижней и верхней границами интервальной оценки [13].
Интервальная оценка представляет собой интервал со случайными границами, который с заданной вероятностью
накрывает неизвестное истинное значение параметра
. Таким образом, для различных реализаций случайной выборки
статистики
и
могут принимать различные значения. При этом вероятностной характеристикой точности оценивания параметра
является случайная величина
![]() |
( 6.2) |
которая для любой реализации случайной выборки
есть длина интервала
, где
.
Интервал называют доверительным интервалом для параметра
с коэффициентом доверия
или
- доверительным интервалом.
Наряду с термином "коэффициент доверия" широко используют термины " доверительная вероятность " и " уровень доверия ". При этом коэффициент доверия чаще всего выбирают равным 0.9, 0.95 или 0.99, т. е. близким к 1.
Построение интервальных оценок осуществляется на основе какой-либо центральной статистики, т. е. такой статистики , функция распределения которой
![]() |
( 6.3) |
не зависит от параметра [13]. При этом принимаются во внимание следующие предположения:
- Функция распределения
является непрерывной и возрастающей;
- Заданы такие положительные числа
и
, что коэффициент доверия
;
- Для любой конкретной выборки
из генеральной совокупности
функция
является непрерывной и возрастающей (убывающей) функцией параметра
.
Согласно предположению (допущению) 1, для любого числа существует единственный корень
уравнения
, который называют квантилью q функции распределения
случайной величины
. Тогда, согласно допущению 2, имеют место равенства
![P\{h_{\alpha}<T(\vec X_n,\theta)< h_{1-\beta}\}=F_T(h_{1-\beta})-F_T(h_{\alpha})=1-\beta-\alpha=\gamma](/sites/default/files/tex_cache/e61488bb8377e8a45ea0d0aed125fa01.png)
которые справедливы для любых возможных значений параметра , т. к.
— центральная статистика и ее функция распределения
не зависит от
.
Этапы построения доверительного интервала
- Построение центральной статистики
с известной функцией распределения.
- Представление заданного коэффициента доверия
в виде
, т. е. задание уровней значимости (малых величин)
и
;
- Нахождение квантилей
и
уровней
и
функции распределения
.
- Нахождение значений нижней
и верхней
границ искомой интервальной оценки путем решения уравнений
![T(\vec x_n,\theta_i)= h_{\alpha},\mbox{ }T(\vec x_n,\theta_{\hat a})=h_{1-\beta}](/sites/default/files/tex_cache/c7aa170105e8dd1b525b3dd5708d5574.png)
соответственно в случае, когда — возрастающая функция параметра
. Если же
— убывающая функция параметра
, то границы интервалов получают путем решения уравнений
![T(\vec x_n,\theta_i)= h_{1-\beta},\mbox{ }T(\vec x_n,\theta_{\hat a})=h_{\alpha}](/sites/default/files/tex_cache/6555dd84165810769fe7006e919176c0.png)
соответственно.
Практическая часть
1. Интервальная оценка параметра экспоненциального распределения
Определение. Случайная непрерывная величина имеет экспоненциальный (показательный) закон распределения с параметром
, если ее плотность вероятности имеет вид
![]() |
( 6.4) |
Характеристики экспоненциального распределения
Математическое ожидание:
![M[X]=\frac{1}{\lambda},](/sites/default/files/tex_cache/fcafad1f5dd710e1f436d7162c051f12.png)
дисперсия:
![D[X]=\frac{1}{\lambda^2},](/sites/default/files/tex_cache/035875667a429c394c58d06083472b17.png)
Для интервальной оценки параметра экспоненциального распределения вводится центральная статистика вида
![]() |
( 6.5) |
где – выборочное среднее реализации
.
Статистика (6.5) имеет распределение с
степенями свободы. По функции распределения находим квантили для уровней
и
, таких, что
где
— уровень доверия или доверительная вероятность. Границы доверительного интервала определяются из уравнений (с учетом того, что введенная центральная статистика является возрастающей функцией искомого параметра
):
![]() |
( 6.6) |
откуда получаем границы доверительного интервала
![\lambda_i=\frac{\chi_{\alpha}^2(2n)}{2n \bar x}, \qquad \lambda_{\hat a}=\frac{\chi_{1-\beta}^2(2n)}{2n \bar x}.](/sites/default/files/tex_cache/553bde2557621e4cb9963df8575b7ba1.png)
Для моделирования процесса оценки границ доверительного интервала сгенерируем массив случайных чисел , распределенных по экспоненциальному закону с помощью функции
системы MATLAB с заданным параметром — истинным параметром
(
в программе). Для заданного объема
выборки случайных чисел рассчитаем среднее выборочное
. Для вычисления квантилей применим функцию
системы MATLAB с
степенями свободы. Ввод данных для решения задачи осуществляется интерактивно с помощью диалогового окна
.
Возможная программная реализация интервальной оценки параметра экспоненциального распределения:
clear,clc,close all options.Resize = 'on'; options.WindowStyle ='normal'; options.Interpreter = 'tex'; D = inputdlg({'\bf Введите параметр экспоненциального распределения .......',... '\bf Введите количество испытаний: ', ... '\bf введите уровень вероятности a: ',... '\bf введите уровень вероятности b: '},... 'Данные задачи по умолчанию',1,... {' 1.25',' 1000',' 0.01',' 0.04'}, options); L = str2num(char(D(1))); n = str2num(char(D(2))); a = str2num(char(D(3))); b = str2num(char(D(4))); pause(0.5) y = 1-a-b; x = exprnd(1/L,n,1); %% 1/L - математическое ожидание m = mean(x); %% среднее значение a1 = chi2inv(a,2*n); %% обратная функция хи-квадрат b1 = chi2inv(1-b,2*n); Ln = a1/(2*n*m); Lv = b1/(2*n*m); LL = [Lv Ln]; Dlina = max(LL)- min(LL); d = 'Доверительная вероятность'; fprintf('\n\tИстинное значение параметра: %g\n ',L) fprintf('\t%s: %g\n',d,y) fprintf('\tГраницы доверительного интервала:\n') fprintf('\t\t\t%s: %g\n', 'нижняя граница', Ln) fprintf('\t\t\t%s: %g\n', 'верхняя граница',Lv) fprintf('\tДлина доверительного интервала: %g\n',Dlina) if L < Ln | L > Lv fprintf('\n\tИстинное значение параметра не входит в доверительный интервал!\n') end %%----------------------- Диаграмма --------------------- xL = [Ln L]; xLv = [L,Lv]; line([min(xL)-0.2*min(xL) max(xLv)+0.1*max(xLv)],[0 0],'linew',2,'color','k') line([Ln Ln],[0 1],'linew',2,'linestyle',':') line([Lv Lv],[0 1],'linew',2,'linestyle',':') line([L L],[0 1],'color','r','linew',1.5) text(Ln,-0.05,sprintf('%s', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_н')) text(Lv,-0.05, sprintf('%s', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_в')) text((Ln+Lv)/2,-0.25, sprintf('%s%g', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_н = ', Ln)) text((Ln+Lv)/2,-0.35, sprintf('%s%g', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_и_c_т = ', L), 'color','r') text((Ln+Lv)/2,-0.45, sprintf('%s%g', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_в = ', Lv)) text(min(Ln, Lv),1.1,sprintf('\\bf Интервальная оценка параметра ')) text(min(Ln,Lv),1.03,sprintf('\\bf экспоненциального распределения')) set(gca,'visible','off') ylim([-0.5 1]) set(gcf,'color','w')
Результат выполнения программы в командном окне MATLAB
Истинное значение параметра: 1.25 Доверительная вероятность: 0.95 Границы доверительного интервала: нижняя граница: 1.12687 верхняя граница: 1.28248 Длина доверительного интервала: 0.15561
На рис. 6.1 приводится диалоговое окно с параметрами задачи.
На рис. 6.2 приведена диаграмма доверительного интервала.
Задание 1
- Для фиксированных значений входных данных выше приведенной программы рассчитайте частоту попадания истинного значения параметра
в доверительный интервал при следующих объемах выборок (в соответствии с номером компьютера):
№ 1: n = 100; № 2: n = 200; № 3: n = 300; № 4: n = 400; № 5: n = 500; № 6: n = 600; № 7: n = 700; № 8: n = 800; № 9: n = 900; № 10: n = 1100.
Значение
выбрать из интервалов по равномерному закону (в соответствии с номером компьютера):
№ 1: (1-1.9); № 2: (0.2-0.29); № 3: (1.3-1.39); № 4: (1.4-1.49); № 5 (1.5-1.59); № 6 (1.6-1.69); № 7: (1.7-1.79); № 8: (1.8-1.89); № 9: (1.9-1.99); № 10 (0.35-0.80).
Доверительную вероятность
принять равной (в зависимости от номера компьютера):
№ 1:
; № 2:
; № 3:
; № 4:
; № 5:
;
№ 6:
; № 7:
; № 8:
; № 9:
; № 10:
.
- В графической части обозначения нижней и верхней границ довери-тельного интервала "привяжите" в процентном отношении к этим границам, чтобы исключить возможное наложение надписи с истинным значением параметра
.