Опубликован: 16.12.2009 | Доступ: свободный | Студентов: 2433 / 364 | Оценка: 4.26 / 4.23 | Длительность: 33:53:00
Специальности: Руководитель, Экономист
Лекция 8:

Статистика нечисловых данных

Асимптотическое поведение решений экстремальных статистических задач. Если проанализировать приведенные выше постановки и результаты, особенно теоремы 1 и 3, то становится очевидной возможность их обобщения. Так, доказательства этих теорем практически не меняются, если считать, что функция f(x,y) определена на декартовом произведении бикомпактных пространств X и Y. Тогда можно считать, что элементы выборки лежат в Х, а Y - пространство параметров, подлежащих оценке. Пусть, например, выборка взята из распределения с плотностью p(x,y) . Если положить f(x,y) = -\ ln p(x,y) , то задача нахождения эмпирического среднего переходит в задачу оценивания неизвестного параметра y методом максимального правдоподобия, а законы больших чисел переходят в утверждения о состоятельности этих оценок в случае пространств X и Y общего вида. В случае функции f(x,y) общего вида можно говорить об определении и состоятельности так называемых оценок минимального контраста. Частными случаями этих оценок являются, например, устойчивые (робастные) оценки Тьюки-Хубера (см. "Проблемы устойчивости эконометрических процедур" 10), оценки параметров в задачах аппроксимации (параметрической регрессии) в пространствах произвольной природы.

Можно пойти и дальше в обобщении законов больших чисел. Пусть известно, что при каждом конкретном y при безграничном росте n имеет быть сходимость по вероятности f_n(x(\omega), y )\to f(y) .

В каких случаях и в каком смысле

Argmin\{fn(x(\omega), y ), y \in X\} \to Argmin \{ f(y), y \in X\}?

Причем здесь можно под n понимать натуральное число. А можно рассматривать "сходимость по фильтру" в смысле Картана и Бурбаки [29, с.118]. В частности, описывать ситуацию вектором, координаты которого - объемы нескольких выборок, и все они безгранично растут. В классической математической статистике такие постановки рассматривать не любят.

Поскольку, как уже отмечалось, основные задачи прикладной статистики можно представить в виде оптимизационных задач, то ответ на поставленный вопрос дает возможность единообразного подхода к изучению асимптотики решений разнообразных экстремальных статистических задач. Одна из возможных формулировок дана и обоснована выше. Другая - в работе [28]. Она основана на использовании понятий асимптотической равномерной разбиваемости и координатной асимптотической равномерной разбиваемости. С помощью указанных подходов удается стандартным образом обосновывать состоятельность оценок характеристик и параметров в основных задачах прикладной статистики. К сожалению, в рамках настоящей лекции нет возможности подробнее остановиться на проблеме оценивания.

Рассматриваемую тематику можно развивать дальше, в частности, рассматривать пространства X и Y, не являющиеся бикомпактными, а также изучать скорость сходимости эмпирических средних к теоретическим.

Медиана Кемени и экспертные оценки. Рассмотрим частный случай пространств нечисловой природы - пространство бинарных отношений на конечном множестве Q=\{q_1, q_2, \dots, q_k\} и его подпространства. Как известно, каждое бинарное отношение А можно описать матрицей \|a(i,j)\| из 0 и 1, причем a(i,j) = 1 тогда и только тогда q_i и q_j находятся в отношении А, и a(i,j) = 0 в противном случае.

Определение 4. Расстоянием Кемени между бинарными отношениями А и В, описываемыми матрицами \|a(i,j)\| и \|b(i,j)\| соответственно, называется

d(A,B)= \sum_{i,j=1}^k |a(i,j)-b(i,j)|

Замечание. Иногда в определение расстояния Кемени вводят множитель, зависящий от k.

Как уже отмечалось, указанное расстояние введено американским исследователем Дж. Кемени в 1950-х годах и получило в нашей стране известность благодаря монографии [24], в которой оно получено для упорядочений (т.е. ранжировок, в которых допускаются связи, или кластеризованных ранжировок - см. "Эконометрические методы проведения экспертных исследований и анализа оценок экспертов" ) исходя из некоторой системы аксиом. Некоторое время казалось, что аксиоматический подход избавляет от субъективизма в выборе расстояния, а потому - от субъективизма в выборе способа усреднения бинарных отношений. Монография [24] породила поток работ, в которых с помощью различных систем аксиом вводились те или иные расстояния в пространствах объектов нечисловой природы (в обзоре [23] на эту тему - 161 ссылка на соответствующие публикации). В итоге произвол в выборе метрик отодвинут на уровень произвола в выборе систем аксиом.

Определение 5. Медианой Кемени для выборки, состоящей из бинарных отношений, называется эмпирическое среднее, построенное с помощью расстояния Кемени.

Поскольку число бинарных отношений на конечном множестве конечно, то эмпирические и теоретические средние для произвольных показателей различия существуют и справедливы законы больших чисел, описанные формулами (21) и (22) выше.

Бинарные отношения, в частности, упорядочения, часто используются для описания мнений экспертов. Тогда расстояние Кемени измеряет близость мнений экспертов, а медиана Кемени позволяет находить итоговое усредненное мнение комиссии экспертов. Расчет медианы Кемени обычно включают в информационное обеспечение систем принятия решений с использованием оценок экспертов. Речь идет, например, о математическом обеспечении автоматизированного рабочего места "Математика в экспертизе" (АРМ "МАТЭК"), предназначенного, в частности, для использования при проведении экспертиз в задачах экологического страхования. Поэтому представляет большой практический интерес численное изучение свойств медианы Кемени при конечном объеме выборки. Такое изучение дополняет описанную выше асимптотическую теорию, в которой объем выборки предполагается безгранично возрастающим (n \to \infty).

Компьютерное изучение свойств медианы Кемени при конечных объемах выборок. С помощью специально разработанной программной системы В.Н. Жихаревым был проведен ряд серий численных экспериментов по изучению свойств выборочных медиан Кемени. Представление о полученных результатах дается приводимой ниже табл.8.1, взятой из статьи [30]. В каждой серии методом статистических испытаний определенное число раз моделировался случайный и независимый выбор экспертных ранжировок, а затем находились все медианы Кемени для смоделированного набора мнений экспертов. При этом в сериях 1-5 распределение ответа эксперта предполагалось равномерным на множестве всех ранжировок, а в серии 6 это распределение являлось монотонным относительно расстояния Кемени с некоторым центром (о понятии монотонности см. выше), т.е. вероятность выбора определенной ранжировки убывала с увеличением расстояния Кемени этой ранжировки от центра. Таким образом, серии 1-5 соответствуют ситуации, когда у экспертов нет почвы для согласия, нет группировки их мнений относительно некоторого единого среднего группового мнения, в то время как в серии 6 есть единое мнение - описанный выше центр, к которому тяготеют ответы экспертов.

Результаты, приведенные в табл.8.1, можно комментировать разными способами. Неожиданным явилось большое число элементов в выборочной медиане Кемени - как среднее, так и особенно максимальное. Одновременно обращает на себя внимание убывание этих чисел при росте числа экспертов и особенно при переходе к ситуации реального существования группового мнения (серия 6). Достаточно часто один из ответов экспертов входит в медиану Кемени (т.е. пересечение множества ответов экспертов и медианы Кемени непусто), а диаметр медианы как множества в пространстве ранжировок заметно меньше диаметра множества ответов экспертов. По этим показателям - наилучшее положение в серии 6. Грубо говоря, всяческие "патологии" в поведении медианы Кемени наиболее резко проявляются в ситуации, когда ее применение не имеет содержательного обоснования, т.е. когда у экспертов нет основы для согласия, их ответы равномерно распределены на множестве ранжировок.

Увеличение числа испытаний в 10 раз при переходе от серии 1 к серии 5 не очень сильно повлияло на приведенные в таблице характеристики, поэтому представляется, что суть дела выявляется при числе испытаний (в методе Монте-Карло), равном 100 или даже 50. Увеличение числа объектов или экспертов увеличивает число элементов в рассматриваемом пространстве ранжировок, а потому уменьшается частота попадания какого-либо из мнений экспертов внутрь медианы Кемени, а также отношение диаметра медианы к диаметру множества экспертов, число элементов медианы Кемени (среднее и максимальное). Можно сказать, что увеличение числа объектов или экспертов уменьшает степень дискретности задачи, приближает ее к непрерывному случаю, а потому уменьшает выраженность различных "патологий".

Есть много интересных результатов, которые мы здесь не рассматриваем. Они связанны, в частности, со сравнением медианы Кемени с другими методами усреднения мнений экспертов, например, с нахождением итогового упорядочения по методу средних рангов, а также с использованием малых окрестностей ответов экспертов для поиска входящих в медиану ранжировок, с теоретической и численной оценкой скорости сходимости в законах больших чисел.

Таблица 8.1. Вычислительный эксперимент по изучению свойств медианы Кемени
Номер серии 1 2 3 4 5 6
Число испытаний 100 1000 50 50 1000 1000
Количество объектов 5 5 7 7 5 5
Количество экспертов 10 30 10 30 10 10
Частота непустого пересечения 0,85 0,58 0,52 0,2 0,786 0,911
Среднее отношение диаметров 0.283 0,124 0,191 0,0892 0,202 0.0437
Средняя мощность медианы 5,04 2,41 6,4 2,88 3,51 1,35
Максимальная. мощность медианы 30 14 19 11 40 12
Дмитрий Лямин
Дмитрий Лямин
Анна Корнева
Анна Корнева

Подскажите, пожалуйста, помимо самого обучения 1 руб. и отправки диплома по почте (за пересылку), ещё нужно платить за оформление самого диплома или удостоверения?