Не могу найти требования по оформлению выпускной контрольной работы по курсу профессиональной переподготовки "Менеджмент предприятия" |
Статистика нечисловых данных
Теорема 2. Пусть - топологическое пространство, непрерывная (в топологии произведения) функция
неотрицательна, симметрична (т.е.
для любых
и
из
), существует число
такое, что при всех
из
![]() |
( 5) |
Пусть в существует точка
такая, что при любом положительном
множество
является бикомпактным. Пусть для случайного элемента
, согласованного с топологией в рассмотренном выше смысле, существует
.
Тогда существуют (т.е. непусты) математическое ожидание и эмпирические средние
.
Замечание. Условие (5) - некоторое обобщение неравенства треугольника. Например, если - метрика в
, а
при некотором натуральном
, то для
выполнено соотношение (5) с
.
Доказательство. Рассмотрим функцию , определенную формулой (4). Имеем
![]() |
( 6) |
Поскольку по условию теоремы существует, а потому конечно, то из оценки (6) следует существование и конечность
при всех
из
. Докажем непрерывность этой функции.
Рассмотрим шар (в смысле меры различия ) радиуса
с центром в
:
![K(R) =\{x : f(x, x_0)\le R\}, R > 0.](/sites/default/files/tex_cache/08b42cede627bcc5b6481982e1a4c254.png)
В соответствии с условием теоремы как подпространство топологического пространства
является бикомпактным. Рассмотрим произвольную точку
из
. Справедливо разложение
![f(x(\omega),y)=f(x(\omega),y) \chi(x(\omega) \in K(R))+f(x(\omega),y) \chi(x(\omega) \notin K(R))](/sites/default/files/tex_cache/f1d460e2c7675d6fcc19b63465462a82.png)
где - индикатор множества
. Следовательно,
![]() |
( 7) |
Рассмотрим второе слагаемое в (7). В силу (5)
![]() |
( 8) |
Возьмем математическое ожидание от обеих частей (8):
![]() |
( 9) |
В правой части (9) оба слагаемых стремятся к 0 при безграничном возрастании : первое - в силу того, что
![g(x_0)=Ef(x(\omega), x_0)=\int_0^{+\infty} tdP(f(x(\omega), x_0) \le t) < \infty](/sites/default/files/tex_cache/d650daaa0585d54940a7c2e4f2c5a6bc.png)
второе - в силу того, что распределение случайного элемента сосредоточено на
и
![\frac{X}{\bigcup_{R > 0}K(R)}= \oslash](/sites/default/files/tex_cache/831379f8c3f06b938a99eb0345f4f14e.png)
Пусть - такая окрестность
(т.е. открытое множество, содержащее
), для которой
![sup \{f(y, x), y \inU(x)\} < +\infty](/sites/default/files/tex_cache/335c7ceea46c4bd8e1347caca52dfc88.png)
Имеем
![]() |
( 10) |
В силу (9) и (10) при безграничном возрастании
![]() |
( 11) |
равномерно по . Пусть
таково, что левая часть (11) меньше
при
и, кроме того,
. Тогда при
![]() |
( 12) |
Нас интересует поведение выражения в правой части формулы (12) при . Рассмотрим
- сужение функции
на замыкание декартова произведения множеств
, и случайный элемент
Тогда
![Ef(x(\omega),y) \chi(x(\omega) \in K(R))=Ef_1(x_1(\omega), y)](/sites/default/files/tex_cache/2fba5f8ef5dc767dbd816e92d6b8da56.png)
при , а непрерывность функции
была доказана в теореме 1. Последнее означает, что существует окрестность
точки
такая, что
![]() |
( 13) |
при . Из (12) и (13) вытекает, что при
![|g(y)-g(x)| < 3 \epsilon](/sites/default/files/tex_cache/89bccccd9babe01424426917cfda1e91.png)
что и доказывает непрерывность функции .
Докажем существование математического ожидания . Пусть
таково, что
![]() |
( 14) |
Пусть - некоторая константа, значение которой будет выбрано позже. Рассмотрим точку
из множества
- дополнения
, т.е. из внешности шара радиуса
с центром в
. Пусть
Тогда имеем
![f(x_0,x) \le D\{f(x_0,x(\omega))+f(x(\omega),x)\}](/sites/default/files/tex_cache/b73a0a87165d5a2c112949a849ad1164.png)
откуда
![]() |
( 15) |
Выбирая достаточно большим, получим с учетом условия (14), что при
справедливо неравенство
![]() |
( 16) |
Можно выбрать так, чтобы правая часть (16) превосходила
Сказанное означает, что достаточно искать внутри бикомпактного множества
. Из непрерывности функции
вытекает, что ее минимум достигается на указанном бикомпактном множестве, а потому - и на всем
. Существование (непустота) теоретического среднего
доказана.
Докажем существование эмпирического среднего . Есть искушение проводить его дословно так же, как и доказательство существования математического ожидания
, лишь с заменой 1/2 в формуле (16) на частоту попадания элементов выборки
в шар
, каковая, очевидно, стремится к вероятности попадания случайного элемента
в
, большей 1/2 в соответствии с (14). Однако это рассуждение показывает лишь, что вероятность непустоты
стремится к 1 при безграничном росте объема выборки. Точнее, оно показывает, что
![\lim_{n \to \infty}P\{E_n(f) \ne \oslash \wedge E_n(f) \subseteq K(HR(0))\}=1](/sites/default/files/tex_cache/fbfec847c78a2e6923bba9224a7f3bcf.png)
Поэтому пойдем другим путем, не опирающимся к тому же на вероятностную модель выборки. Положим
![]() |
( 17) |
Если входит в дополнение шара
, то аналогично (15) имеем
![]() |
( 18) |
При достаточно большом из (17) и (18) следует, что
![\sum_{i=1}^n f(x_i, x_0) \le nR(1) < \sum_{i=1}^n f(x_i, x), x \in \{K(HR(1))\}^C](/sites/default/files/tex_cache/329d51864bcd55f030fefffc1aa15a63.png)
Следовательно, достаточно искать на
. Заключение теоремы 2 следует из того, что на бикомпактном пространстве
минимизируется непрерывная функция.
Теорема 2 полностью доказана.