НОУ ИНТУИТ | Теория экономических механизмов. Лекция 7: Двусторонняя торговля и теорема Вильямса

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1543 / 82 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00

ISBN: 978-5-9963-0014-3

Темы: Математика, Экономика

Специальности: Математик, Экономист

|

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Теорема Вильямса: общий случай

Итак, мы готовы сформулировать наш основной результат.

Теорема 7.3. (Вильямса) Рассмотрим проблему социального выбора с квазилинейными предпочтениями. Предположим также, что

множества типов $\Theta_i$ представляют собой связные открытые подмножества $\mathbb R^{n_i}$ ,
ожидаемые (interim) внутренние ценности агентов
$V_i(\theta^*_i\mid\theta_i)$

непрерывно дифференцируемы на $\Theta_i\times\Theta_i$ в точках, в которых $\theta^*_i=\theta_i$ .

Тогда механизмы VCG являются правдивыми и эффективными для этой задачи, и ожидаемые (interim) внутренние ценности агентов $U_i(\theta^*_i\mid\theta_i)$ любого правдивого и эффективного механизма совпадают с ценностями одного из механизмов VCG.

Как обычно, a good formula stays for ever, и формула, которая получится по дороге, будет ничуть не менее важной, чем сама теорема классификации. Давайте ее тоже сформулируем.

Теорема 7.4. (Вильямса) В условиях теоремы 7.3 функция доходности любого правдивого эффективного механизма для любой пары типов $\theta_i,\theta^*_i\in\Theta_i$ имеет вид

$U_i(\theta_i) = U_i(\theta^*_i) + \int_{C}\left.D_{\theta_i}V_i(\theta^*_i\mid\theta_i)\vphantom{1^2}\right|_{\theta^*_i=\tau,\theta_i=\tau}d\tau,$

где — гладкая кривая от $\theta^*_i$ к $\theta_i$ внутри $\Theta_i$ , $\tau\in\mathbb R^{n_i}$ .

Доказательство. Обозначим через $\bf{\rho}\in\mathbb R^{n_i}$ некоторый единичный вектор, через $s\in\mathbb R$ — некоторое вещественное число. Правдивость гласит, что для всех $\theta_i\in\Theta_i$

$U_i(\theta_i) &\ge& U_i(\theta_i+s\bf{\rho}\mid\theta_i),\\ U_i(\theta_i+s\bf{\rho}) &\ge& U_i(\theta_i\mid\theta_i+s\bf{\rho}).$

Вычтем $U_i(\theta_i)$ из обеих частей первого неравенства; получается:

$U_i(\theta_i\mid\theta_i+s\bf{\rho})-U_i(\theta_i)\le \\ \le U_i(\theta_i+s\bf{\rho})-U_i(\theta_i)\le \\ \le U_i(\theta_i+s\bf{\rho})-U_i(\theta_i+s\bf{\rho}\mid\theta_i).$

Сократим там P_i слева и справа (они не зависят от истинной ценности, а только от сообщаемой) и разделим на :

$\frac{V_i(\theta_i\mid\theta_i+s\bf{\rho})-V_i(\theta_i)}{s} \le \\ \le \frac{U_i(\theta_i+s\bf{\rho})-U_i(\theta_i)}{s}\le \\ \le\frac{V_i(\theta_i+s\bf{\rho})-V_i(\theta_i+s\bf{\rho}\mid\theta_i)}{s}.$

Устремим теперь $s\to0$ . По условию о дифференцируемости V_i , левая часть сходится к производной функции $V_i(\tau^*_i\mid\tau_i)$ по направлению $\bf{\rho}$ в точке $\tau^*_i=\tau_i=\theta_i$ .

Правая часть раскладывается на

$\frac{V_i(\theta_i+s\bf{\rho})-V_i(\theta_i)}{s} - \frac{V_i(\theta_i+s\bf{\rho}\mid\theta_i)-V_i(\theta_i)}{s}.$

Первое слагаемое по тем же причинам сходится к производной $V_i(\tau_i)$ по $\tau_i$ по направлению $\bf{\rho}$ в $\tau_i=\theta_i$ , а второе слагаемое — к производной $V_i(\tau^*_i\mid\tau_i)$ по $\tau^*_i$ по направлению $\bf{\rho}$ в $\tau^*_i=\tau_i=\theta_i$ .

Таким образом, вся правая часть сходится к производной функции $V_i(\tau^*_i\mid\tau_i)$ по $\tau_i$ по направлению $\bf{\rho}$ в точке $\tau^*_i=\tau_i=\theta_i$ . Значит,

$D_{\theta_i}U_i(\theta_i) = \left.\vphantom{1^2}D_{\theta_i}V_i(\theta^*_i\mid\theta_i)\right|_{\theta^*_i=\tau,\theta_i=\tau}.$

Отсюда следует утверждение теоремы, потому что производная по предположению непрерывна.

Это весьма показательный метод доказательства. По сути это развитие исходной идеи Майерсона в максимальной (или близкой к тому) общности. Видно, что откуда берется во всех таких теоремах: нужно взять изменение (приращение $s\bf{\rho}$ ) и посмотреть, что от него изменится; а затем устремить (то есть длину вектора приращения) к нулю. В результате получится результат об исходных функциях; единственное, за чем нужно следить — это за тем, какие предположения о непрерывности и дифференцируемости использовались по дороге.

Рациональность

Давайте применим теорему Вильямса в контексте, обобщающем теорему 7.1. Мы бы хотели создавать рациональные механизмы. Посмотрим, когда это получится.

Теорема 7.5. Рассмотрим проблему социального выбора с квазилинейными предпочтениями. Предположим, что множества типов $\Theta_i$ представляют собой интервалы: $\Theta_i = [\underline{\theta}_i, \overline{\theta}_i]$ . Тогда в предположениях теоремы 7.3 минимальная субсидия, которая требуется рациональному, правдивому и эффективному механизму, равна

$\min\left\{0, -(N-1)\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum\limits_{i=1}^Nv_i(a(\mathbf\theta),\theta_i)\right] + \sum\limits_{i=1}^NU_i(\underline{\theta}_i)\right\}.$

Значит, рациональные, правдивые и эффективные механизмы со сбалансированным бюджетом существуют тогда и только тогда, когда

$(N-1)\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum\limits_{i=1}^Nv_i(a(\mathbf\theta),\theta_i)\right] \le \sum\limits_{i=1}^NU_i(\underline{\theta}_i).$

Доказательство. По теореме Вильямса, достаточно рассмотреть механизмы VCG. Для них ожидаемая сумма трансферов

$\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum\limits_{i=1}^Np_i(\mathbf\theta)\right] = -\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j\neq i}v_j(a(\mathbf\theta),\theta_j)\right] + \sum\limits_{i=1}^Nk_i = \\ = -(N-1)\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum_{i=1}^Nv_i(a(\mathbf\theta),\theta_i)\right] + \sum\limits_{i=1}^Nk_i.$

По рациональности, $U_i(\underline{\theta}_i)\ge k_i$ для всех . Отсюда и получается утверждение теоремы.

Дальше >>

Авторизоваться

Теория экономических механизмов

Двусторонняя торговля и теорема Вильямса

Теорема Вильямса: общий случай

Рациональность

Вопросы и ответы