Уравнения. Системы уравнений

8.5. Нахождение решений рекуррентных уравнений

Рекуррентными называются функции, значение которых в одной точке зависит от значения этой же функции в другой точке. Отношения между значениями функции в разных точках задаются рекуррентными уравнениями. Решает рекуррентные уравнения функция RSolve: в качестве результата она выдаёт зависимость значения функции от номера итерации. Задаётся функция в виде RSolve[eq,f[n],n], т.е. имеет, по крайней мере, три аргумента: первый — уравнение (систему уравнений) eq с начальными условиями, второй — функция (или список функций) f[n], которая зависит от номера итерации, счётчик которых n указываемой в третьем аргументе. Решение рекуррентного уравнения приведено в примерах In[1] и In[2] на рис. 8.21. Как мы видим, оба расчёта имеют одинаковый результат (ср. Out[1] и Out[2]) при том, что номера итераций указаны различным образом.

Функцию RSolve можно рассматривать как дискретный аналог DSolve. Именно поэтому специальные функции, генерируемые DSolve при решении дифференциальных уравнений, встречаются и при решении рекуррентных уравнений. В примере In[3] на рис. 8.21 при решении рекуррентного уравнения мы получили зависимость, содержащую функцию Бесселя.

О решении рекуррентных уравнений см. книгу В. П. Дьяконова [2, с. 263–264].

Рис. 8.21. Решение рекуррентных уравнений при помощи функции RSolve

Ключевые термины

Рекуррентными называются функции, значение которых в одной точке зависит от значения этой же функции в другой точке.

Трансцендентное уравнение — уравнение, не являющееся алгебраическим.

Краткие итоги

В данной лекции мы познакомились с основными встроенными функциями Mathematica для нахождения символьных и численных решений алгебраических, трансцендентных, рекуррентных и дифференциальных уравнений, а также систем уравнений. Мы познакомились с принципами работы некоторых встроенных функций решения уравнений. Также мы научились сочетать возможности Mathematica символьных вычислений, численных расчётов и графических средств для нахождения решений уравнений и систем уравнений.

Вопросы

1. Какая функция Mathematica используется для нахождения символьных решений алгебраических уравнений? В каком виде задаются её аргументы? В каком виде она возвращает результат вычислений?
2. Каким образом Mathematica представляет корни полиномиального уравнения в случае, если она не может представить полученное при помощи функции Solve решение в аналитическом виде?
3. Каким образом Mathematica может отреагировать на попытку решить при помощи функции Solve трансцендентное уравнение?
4. Какое действие выполняет функция FindInstance, применённая к алгебраическому уравнению? В каком виде задаются её аргументы?
5. Для каких целей служит функция Eliminate?
6. В каких случаях при работе с алгебраическими уравнениями функции Solve следует предпочесть функцию Reduce? В каком виде возвращается результат выполнения функции Reduce?
7. Для чего используется функция SolveAlways? Какие обязательные аргументы она содержат?
8. В каком виде должны быть заданы аргументы функции решения систем линейных уравнений LinearSolve?
9. Какая функция Mathematica используется для нахождения численных решений алгебраических уравнений? В каком виде она возвращает результат вычислений?
10. В каких случаях при решении уравнений используется функция FindRoot? Каким образом она ищет корни уравнений? Для чего используется опция MaxIterations?
11. Для решения каких типов ДУ и систем ДУ используется функция DSolve? Какие обязательные аргументы она содержат?
12. В чём заключается разница в результатах вычислений при задании второго аргумента функции DSolve как f и f[x]?
13. В чём состоят отличия при задании аргументов функций аналитического DSolve и численного NDSolve решения ДУ?
14. В каком виде возвращает результат решения функция NDSolve?
15. Для каких целей используется функция RSolve? В каком виде задаются её обязательные аргументы?

Упражнения

1. Решите средствами Mathematica следующие уравнения и системы уравнений. Для каждого уравнения или системы уравнений используйте по два наиболее подходящих способа решения, если это возможно. Сравните результаты решения каждым из способов друг с другом.

   

   

   

   (относительно )

   (относительно )

   

   

   

   

   (относительно )

   

   

   (относительно и )

   ,

   ,

   (относительно и )

   

   
2. Из приведённых ниже систем уравнений исключите указанные переменные.

   , (исключить переменную )

   , (переменную )

   , , (переменную )

   , , (переменные и )

   , , (переменные , и )

   (переменную )

   , (переменную )

   (переменные и )

   (переменную )
3. Решите средствами Mathematica следующие ДУ и системы ДУ. Проиллюстрируйте полученные решения графически, если это возможно.