Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Опубликован: 09.01.2004 | Доступ: свободный | Студентов: 3808 / 327 | Оценка: 4.02 / 3.77 | Длительность: 10:03:00
ISBN: 978-5-9556-0009-3
Лекция 7:

Теория типов и комбинаторная логика

Аннотация: В данной лекции исследуются принципы, математическое основание и выразительные возможности теории типов и типизированной комбинаторной логики - математической формализации, моделирующей типы выражений в языках программирования.
Ключевые слова: типизация, тип, сорт, предметной области, определение, индивидуализирующая функция, значение, исчисление ламбда-конверсий, чистая система типов, ламбда-исчисление, подмножество, функциональное пространство, объект, приписывание типа, базисный тип, функция, принцип иерархичности, производный тип, принцип построения, конвертируемость, аксиома, комбинатор, функция тождества, тождественное преобразование, аргумент, операции, комбинаторная логика, SML, переменная, выводимость типов, статическая типизация, контроль типизации, время компиляции, compilation time, время выполнения, run time, type inference, аппликация, присваивание, равенство, аналогия, отношение конвертируемости, сообщение об ошибке, корректная типизация, преобразование типов, контроль, Lisp, безопасность типизации, полиморфная типизация, Pascal, строковый элемент, список, типизированное исчисление, сегментация, сущность предметной области, безопасность, вывод, статическая переменная, константы, означивание, вычисление, целое число, head, технологическая платформа, net, Common Type System, CTS, отображение, язык программирования, ссылочный тип, тип-значение, освобождение памяти, сборка мусора, наследование, очередь, объектный тип, интерфейсный тип, тип-указатель, пользователь, переполнение, мощность, значимость, примитивный тип, boxing, unboxing

Рассмотрим построение системы типизации на основе комбинаторной логики.

В математике принято называть типами (или, иначе, сортами ) относительно устойчивые и независимые совокупности элементов, которые можно выделить во всем рассматриваемом множестве (предметной области). Заметим, что разделение элементов предметной области на типы или сорта во многом является условным и носит субъективный характер, т.к. зависит от эксперта в этой области.

Тип, подобно множеству, может определяться двояко.

Во-первых, возможно определение типа посредством явного перечисления всех элементов, принадлежащих типу (заметим, что такой подход применяется и в математике, и в программировании, где существуют так называемые перечислимые типы ).

Другим способом определения типа   T является формализация общих свойств тех элементов d из предметной области D, которые объединяются в этот тип, посредством задания индивидуализирующей предикатной функции Y, значение которой истинно, если элемент принадлежит данному типу и ложно в противном случае:

T = {d: D|Y}.

При более формальном подходе к теории типов и типизации в связи с исчислением ламбда-конверсий следует определить чистую систему типов.

Чистой системой типов называется семейство ламбда-исчислений, в которых каждый элемент характеризуется тройкой

<S, A, R>,

где:

S - подмножество констант, называемых сортами ;

A - множество аксиом вида c:s, где с является константой, а s является сортом ;

R - множество троек сортов, определяющих возможные функциональные пространства и их сорта для системы.

Далее введем обозначение, характеризующее то обстоятельство, что тот или иной объект является типизированным, или, иначе говоря, что тому или иному объекту приписан тип.

В частности, для ламбда-терма M   приписывание ему типа   T обозначим как

#M ||- T

и будем в таком случае говорить, что ламбда-терм M имеет тип   T.

При более общем подходе, который верен и для математики, и для программирования, система типов формируется следующим образом.

Во-первых, задается множество базисных типов (обозначим их символами d1 , d2 , и так далее).

Во-вторых, примем соглашение, что всякий базисный тип считается типом.

В-третьих, условимся, что если a и b считаются типами, то функция из a в b также считается типом и при этом имеет тип   a→b.

Заметим, что в основе теории типов лежит принцип иерархичности, который заключается в том, что производные типы содержат базисные как подмножества.

Этот принцип построения справедлив и для языков программирования. В частности, иерархии классов в объектно-ориентированных языках программирования формируются аналогично приведенному выше построению математической системы типов.

Для иллюстрации построения теории типов расширим комбинаторную логику операцией приписывания типа.

Напомним аксиомы комбинаторной логики, задающие свойства отношения конвертируемости:

(I) Ix = x;
(K) Kxy = x;
(S) Sxyz = xz(yz).

Аксиома (I) означает существование комбинатора (функции) тождества, т.е. наличие тождественного преобразования, при котором любой аргумент отображается сам в себя.

Аксиома (K) означает существование комбинатора (функции) взятия первой проекции, т.е. первого элемента упорядоченной пары или первого элемента списка. Интуитивно ясно, что эта аксиома близка языкам функционального программирования, оперирующим списками, и соответствует фундаментальной операции взятия головного (первого) элемента списка.

Оказывается, что комбинаторная логика обладает возможностью не только моделировать процесс реализации программного обеспечения на языке функционального программирования, но и прозрачно формализовать процедуру приписывания типов объектам этого языка.

Под типом ( сортом ) будем понимать относительно устойчивую и независимую совокупность элементов, которую можно выделить во всем рассматриваемом множестве (предметной области).