Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI? |
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
9.2 Численные методы решения дифференциальных уравнений и их реализация
Численные методы решения дифференциального уравнения первого порядка будем рассматривать для следующей задачи Коши. Найти решение дифференциального уравнения
![]() |
( 9.4) |
удовлетворяющее начальному условию
![]() |
( 9.5) |
иными словами, требуется найти интегральную кривую , проходящую через заданную точку
(рис. 9.1).
Для дифференциального уравнения -го порядка
![]() |
( 9.6) |
задача Коши состоит в нахождении решения x = x(t), удовлетворяющего уравнению (9.6) и начальным условиям
![]() |
( 9.7) |
Рассмотрим основные численные методы решения задачи Коши.
9.2.1 Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера
При решении задачи Коши (9.4), (9.5) на интервале , выбрав достаточно малый шаг
, построим систему равноотстоящих точек
![]() |
( 9.8) |
Для вычисления значения функции в точке разложим функцию
в окрестности точки
в ряд Тейлора [2]
![]() |
( 9.9) |
При достаточном малом значении членами выше второго порядка можно пренебречь и с учётом
получим следующую формулу для вычисления приближённого значения функции
в точке
![]() |
( 9.10) |
Рассматривая найденную точку , как начальное условие задачи Коши запишем аналогичную формулу для нахождения значения функции
в точке
![x_2=x_1+hf(x_1,t_1).](/sites/default/files/tex_cache/a99b5d7f72c6b3438b4bf516939e0baa.png)
Повторяя этот процесс, сформируем последовательность значений в точках
по формуле
![]() |
( 9.11) |
Процесс нахождения значений функции в узловых точках
по формуле (9.11) называется методом Эйлера. Геометрическая интерпретация метода Эйлера состоит в замене интегральной кривой
ломаной
с вершинами
. Звенья ломанной Эйлера
в каждой вершине
имеют направление
, совпадающее с направлением интегральной кривой
уравнения (9.4), проходящей через точку
(рис. 9.2). Последовательность ломанных Эйлера при
на достаточно малом отрезке
стремится к искомой интегральной кривой.
На каждом шаге решение определяется с ошибкой за счёт отбрасывания членов ряда Тейлора выше первой степени, что в случае быстро меняющейся функции
может привести к быстрому накапливанию ошибки. В методе Эйлера следует выбирать достаточной малый шаг
.