Опубликован: 11.10.2017 | Доступ: свободный | Студентов: 1440 / 417 | Длительность: 11:32:00
Лекция 4:

Пространство отображения (моделирования) систем

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >

4.4. Подпространства состояний.

Подпространства состояний Si отражают соответствующие свойства si систем и имеют базис в виде <sij, sijk>. Более точно топология задается законами свойства si или соответствующими частно-научными теориями. В частном случае подпространство Si может быть какого-либо известного в математике типа: топологического, нормированного, метрического, линейного, арифметического, евклидова, векторного, гильбертова и т. д. [101]. Определение отдельных из этих пространств мы уже ранее приводили и использовали (см. §§2.3, 4.1, 4.2).

* ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ I [35].

Функционирование технической системы может характеризоваться целью минимизации целевой функции и описываться системой уравнений. Установление связи между ними заключается в составлении уравнений Эйлера-Лежандра или получением из цели преобразованием Лежандра функции Гамильтона и составлением канонических уравнений — Гамильтоновой системы. При этом возникает задача составления базиса свойств, выделение тех свойств, которые вносят существенный вклад в цель, и свойств, фактически не влияющих на цель. Это задача содержательной модели системы.

* ПРИМЕРЫ [114].

1) В классической механике элементарными объектами являются материальные точки вместе с их положениями и скоростями в физическом пространстве, а изменчивость задается траекториями точек. Пространство состояний есть шестимерное фазовое пространствопроизведение трехмерного евклидова пространства на трехмерное пространство скоростей.

2) В квантовой механике элементарные объекты — амплитуды вероятностей состояний микрообъектов (например, энергетических состояний атома). Изменчивость в пространстве состояний задается траекториями векторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве.

3) В теории ядра элементарные объекты — нуклоны и некоторые другие элементарные частицы, обладающие специфическим набором квантовых чисел. Изменчивость — взаимные превращения частиц и излучений. Пространство состояний ограничивается комбинациями квантовых чисел для совокупностей превращающихся частиц, допустимыми согласно законам сохранения.

4) В эмбриологии роль элементарного объекта играет живая клетка, а роль изменчивости — процесс деления клеток. Пространство состояний описывается морфологическими признаками архетипов зоологических систематик.

5) В экологии сообществ объект — популяция организмов. Изменчивость складывается из процессов рождения и гибели особей. Пространство состояний — набор всевозможных векторов (n1, n2, ..., ni, ..., nw), где ni — численность популяции вида i, входящего в сообщество. Набор ограничен доступными организмам ресурсами среды.

* ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ II.

В случае, когда система и связанные с ней обьекты и отношения могут быть описаны с помощью множеств (в виде теоретико-множественной модели), возможно построение пространств состояний, некоторыми из которых являются следующие [104]:

  1. метрическое пространство отображения классических динамических систем (см. §2.3);
  2. топологическое пространство, определяемое в явной форме открытыми множествами, обеспечивающее строгое представление интуитивных понятий аппроксимации и непрерывности конкретного класса систем; при этом топологическая структура позволяет получить критерий синтеза систем;
  3. топологическое пространство оптимизационных задач в экономике;
  4. топологические структуры моделей в социальной психологии, опирающиеся на понятие связности, границы и непрерывности;
  5. развитые топологические понятия и методы в теоретической физике.

* ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ III [137].

"Описывая некоторую содержательную теорию, в принципе возможно построить не одну, а несколько аксиоматических систем, которые отличались бы прежде всего набором исходных принципов. Эти системы соответственно явились бы основой различных формальных моделей одной и той же содержательной теории" [49].

Как и в ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ II, предполагается применимость теоретико-множественной модели.

Задается семейство множеств

\black V={V_i:i\in I}, где I — множество индексов, и определяется система, заданная на V, как некоторое собственное подмножество декартова произведения\black\times V:

\black S\subset X\times\big\{V_i:i\in I\big\}.

Все компоненты \black V_i, i\in I декартова произведения V называются объектами системы S. При этом рассматривается система с двумя объектами — входным объектом X и выходным объектом Y:

\black S\subset X\times Y.

Для построения на базе введенного определения S некоторой теории, необходимо наделить систему, как отношение, некоторой дополнительной структурой. Это предлагается сделать одним из двух способов:

(i) ввести дополнительную структуру для элементов объектов системы, например, рассматривая сам элемент \black v_i\in V_i как некоторое множество с подходящей структурой;

(ii) ввести структуру непосредственно для самих объектов системы \blackV_i, i\in I.

Первый путь приводит к понятию (абстрактных) временных систем, а второй — к понятию алгебраической системы.

(а) Временные системы.

Пусть имеются системы, у которых элементы входного и выходного объектов определены на одном и том же множестве, \black X\subseteq A^T text{и} Y\subseteq B^T. В этом случае под системой понимается отношение

\black S\subseteq A^T\times B^T,

где T — линейно упорядоченное индексирующее множество для V, или множество моментов времени, A — алфавит объекта V, \black v:T_v\rightarrow A_v (функция), \black v\in V, если все области и кообласти всех функций для данного объекта V одинаковы, т. е. каждая функция \black v\in V является отображением T в A, \black v:T\rightarrow A.

(б) Алгебраические системы.

В более общей ситуации алгебраический объект порождается целым семейством операций. Точнее говоря, объект V задается некоторым множеством элементов W, называемых примитивными, некоторым множеством операций R={R1, ..., Rn} и правилом, согласно которому V содержит, во-первых, все примитивные элементы, \black W\subset V, а, кроме того, и все элементы, которые могут быть порождены из примитивных в результате многократного применения операций из R.

МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОЯСНЕНИЯ. В ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ III мы изложили начальное определение так называемой "общей теории систем Месаровича", названной нами системной теорией. Являясь абстрактной, эта теория получила развитие в такой же абстрактной теории иерархических многоуровневых систем [139], но ни та, ни другая не получили развитие в прикладных науках (см., например, "Прикладная общая теория систем" [43]). Мы уже отмечали недостаточную общность системных теорий для того, чтобы служить общей теорией систем. Дополнительно отметим примитивность содержательного обоснования теоретико-множественных системных теорий. "Практика нуждается в простых моделях, базирующихся на нетривиальных посылках. Между тем, сегодня наука обычно создает сложные модели, базирующиеся на посылках содержательно бедных" [116]. Тем не менее, множественные модели являются достаточно общими, наглядными и, зачастую, безальтернативными. В частности, нам необходимо: найти общие пути интерпретации базиса топологического пространства М, найти способы отображения в М функций систем и др.

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >