Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5216 / 1566 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 9:

Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >

На третьем шаге прямого хода (к=3) из системы (9.7) находим x3.

a_{33}^{(2)} - ведущий элемент системы (9.7).

Если a_{33}^{(2)} \neq 0, то из первого уравнения системы (9.7) имеем:

x_3= -a_{34}^{(3)}x_4 + b_3^{(3)}, ( 9.8)

где

a_{3j}^{(3)} = a_{3j}^{(2)}/ a_{33}^{(2)},\\ 
b_3^{(3)} = b_3^{(2)}/ a_{33}^{(2)},\\ j=4=\overline{(k+1),n}

Подставив выражение (9.8) для x3 во второе уравнение системы (9.7) получим:

a_{44}^{(3)}x_4 = b_4^{(3)}, ( 9.9)

где

a_{ij}^{(3)} = a_{ij}^{(2)} - a_{i3}^{(2)} \cdot a_{3j}^{(3)},\\ 
b_i^{(3)} = b_i^{(2)} - a_{i3}^{(2)} \cdot a_{3j}^{(3)},\\ i=\overline{(k+1),n}; j=\overline{(k+1),n}.

На последнем шаге прямого хода, если a_{44}^{(3)} \neq 0, то из уравнения (9.9) имеем:

x_4 = b_4^{(4)}, ( 9.10)

где

b_4^{(4)} = b_4^{(3)}/ a_{44}^{(3)}. ( 9.11)

В результате выполнения всех шагов прямого хода исходная система (9.1) приводится к системе треугольного вида, полученной объединением уравнений (9.4), (9.6), (9.8), (9.10):

\left\{ \begin{array}{l} 
x_1= -a_{12}^{(1)}x_2 - a_{13}^{(1)}x_3 - a_{14}^{(1)}x_4 + b_1^{(1)},\\ 
x_2= -a_{23}^{(2)}x_3 - a_{24}^{(2)}x_4 + b_2^{(2)},\\ 
x_3= -a_{34}^{(3)}x_4 + b_3^{(3)},\\ 
x_4= b_4^{(4)}. 
\end{array} \right. ( 9.12)

При построении алгоритма прямого хода вычисление организуем в цикле по шагам, т.е. k=\overline{1,(n-1)}.

Последний n-й шаг прямого хода выведем из цикла т.к. здесь реализуется только одно вычисление

b_n=\frac{b_n}{a_{nn}}. ( 9.13)

В процессе выполнения всех шагов прямого хода все преобразования коэффициентов и свободных членов проводим по полученным ранее рекуррентным формулам:

b_k^{(k)}= b_k^{(k-1)}/a_k,k^{(k-1)},\\ 
b_i^{(k)}= b_i^{(k-1)}/a_i,k^{(k-1)} \cdot b_k^{(k)},\\ 
a_{k,j^{(k)}}= a_{k,j^{(k-1)}}/a_{k,k^{(k-1)}},\\ 
a_{i,j^{(k)}}= a_{i,j^{(k-1)}}-a_{i,k^{(k-1)}} \cdot a_{k,j^{(k)}}, ( 9.14)

где

k=\overline{1,(n-1)} – номер шага прямого хода,

i=\overline{(k+1),n} - номер уравнения систем (9.5), (9.7)

j=\overline{(k+1),n}

В процессе обратного хода из системы (9.12) неизвестные находятся в обратном порядке. Значение корня х4 находят из последнего уравнения системы (9.12). Далее х4 используется для отыскания корня х3 из 3-го уравнения, далее х3 и х4 используются отыскания х2 из 2-го уравнения системы (9.12), и, наконец, х2, х3 и х4 используются для отыскания х1 из 1-го уравнения системы (9.12).

Все вычисления обратного хода проводим в цикле по i, где

i=\overline{(n-1)},1 по рекуррентным формулам:

b_i={b_i – x_j \cdot a_{ij}}  , \\ \overline i=(n-1),\overline {1,j}=(i+1),n

xi= bi.

Рассмотренный выше простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления, обладает следующим недостатком: если ведущий элемент akk какой-либо строки окажется равным нулю, то этот метод формально непригоден, хотя система может иметь единственное решение. Из этих соображений в схеме алгоритма добавлен поиск ненулевого ведущего элемента.

На рисунке 9.1 представлена укрупнённая схема алгоритма (блок-схема) метода Гаусса. На рисунках 9.2 - 9.6 представлены алгоритмы отдельных блоков метода.

Укрупнённая схема алгоритма (блок-схема) метода Гаусса

Рис. 9.1. Укрупнённая схема алгоритма (блок-схема) метода Гаусса
< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Иван Огородников
Иван Огородников
Россия, Ханты-Мансийск
Татьяна Якубайлик
Татьяна Якубайлик
Россия, Красноярск