Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 18.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 11475 / 2201 | Оценка: 4.16 / 4.04 | Длительность: 14:52:00
ISBN: 978-5-9556-0105-2
Специальности: Математик
Лекция 4:

Совокупности и отношения

< Лекция 3 || Лекция 4: 123 || Лекция 5 >

Чтобы задать функцию, нужно указать некоторый способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции, то есть способ описания закона f. Функция может задаваться аналитическим, графическим, табличным или словесным способом.

Аналитическое выражение - формула, указывающая, какие математические действия надо произвести над аргументом x, чтобы получить соответствующие значения y. Способ задания значений функции с помощью аналитического выражения называется аналитическим способом задания функции . Функция может быть задана и с помощью нескольких различных аналитических выражений с разными областями определения. В этом случае область определения функции - область определения каждого из этих аналитических выражений (при условии, что эти отдельные области нигде "не конфликтуют"). Аналитически функция задается, если область ее определения не является конечной, особенно, в теоретических проблемах.

Пример.Рассмотрим кусочно-аналитически заданную функцию

f(x) = \begin{cases}
    x^2, & -2<x<0, \\
    0  , & 0\le x\le 1, \\
    x+1, & 1<x<3.
  \end{cases}
Область определения этой функции X={x : -2<x<3}.

При табличном задании функции ряд дискретных значений аргумента x1, x2,..., xn и соответствующих им значений функции y1, y2,..., yn задаются в виде таблицы.

Пример.Различные статистические и социологические данные записывают в виде таблиц: уровня жизни, динамики безработицы, численности населения и т.п.

Третьим способом задания функции является графический способ.

Абсциссой x точки (x;y) на плоскости xOy называется длина отрезка [O;x], отсекаемого от точки отсчета O оси Ox плоскости. Ординатой этой точки называется длина отрезка [O;y] оси Oy плоскости xOy .

Графиком функции y=f(x) называется множество точек (x;y) на плоскости xOy (геометрическое место точек на плоскости), каждая из которых обладает тем свойством, что ее абсцисса есть значение аргумента функции, а ордината - соответствующее этому аргументу значение функции. Графически функция определяется обычно в экспериментальных науках, например, в разделах физики, химии.

Пример.График кусочно-заданной на интервале (-2;3) функции f(x), приведенной выше, будет иметь вид, изображенный рис. 4.1. Хотя этот график и состоит из трех "вроде бы" самостоятельных частей (часть параболы; часть оси Ox ; часть прямой, параллельной биссектрисе координатного угла), тем не менее, это один график (график одной кусочно-заданной функции). График функции может не быть непрерывной линией. При x=1 указанный на рис. 4.1. график теряет свойство быть непрерывным. Функция имеет при x=1 разрыв (о разрывах функции мы подробнее поговорим ниже).

График кусочно-заданной функции

Рис. 4.1. График кусочно-заданной функции

При словесном задании функции словесно указываются множества X, Y и закон f.

Пример. Функция Дирихле, рассмотренная нами выше, была определена словесно, так как значения из множеств X, Y - "словесны, расплывчаты".

Если задана некоторая однозначная функция y=f(x), x\in X, y\in Y, то каждому значению x\in X ставится в соответствие только одно значение y\in Y. Если при этом каждому значению y\in Y соответствует лишь одно значение x\in X, то говорят, что отображение f есть взаимно однозначное отображение .

Так как каждому y\in Y в этом случае ставится в соответствие одно значение x\in X, то можно говорить, что определена функция вида x=\varphi (y) с областью определения Y и областью значений X.

Функция x=\varphi (y) называется функцией, обратной к (прямой) функции y=f(x) . Обратную к f функцию g часто обозначают f-1 (g=f-1).

Если дана функция y=f(x) и для любого значения y_0\in Y уравнение f(x)=y0 имеет единственный корень x_0\in X, то функция y=f(x) обратима. Если функция f:X\to Y определена и возрастает (убывает) на промежутке X, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция g:Y\to X определена и возрастает (убывает) на Y. Таким образом, график обратной функции y=\varphi (x) симметричен с графиком данной функции y=f(x) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Пример. Функция y=x2 с областью определения D(f)=R, областью изменения E(f)=\{x\,:\, x\in [0;+\infty)\} и функция x=\pm\sqrt{y} не является взаимно однозначной, а функция y=x3 с обратной однозначной функцией x=\sqrt[3]{y} - взаимно однозначная.

Пусть дано некоторое соотношение, связывающее две переменные x и y. Если все его члены перенести в левую часть, то оно запишется в виде: F(x,y)=0. Если существуют различные пары действительных чисел (x,y), удовлетворяющих данному соотношению, то соотношение F(x,y)=0 можно считать способом задания переменной y как функции от x. С помощью этого соотношения каждому значению x\in X ставится в соответствие y\in Y (фиксируем каждый раз x, решаем, при фиксированном x, уравнение и находим y ). Функция от x, определяемая соотношением F(x,y)=0, называется неявно заданной функцией .

Пример.Соотношение 2x-y+1=0 неявно задает y как функцию от x ; эту функцию можно выразить явно, разрешив уравнение относительно y: y=1+2x. Соотношение x2+y2-1=0 неявно задает двухзначную функцию y=\pm \sqrt{1-x^2} ; уравнение e^{xy}+y\cos x=5 задает неявную функцию y (не выражаемую явно через x ).

Функция f(x) называется четной, если f(x)=f(-x) для всех x\in X, где X - область определения функции y=f(x) . График четной функции симметричен относительно оси Oy. Функция называется нечетной, если f(x)=-f(-x), для любого x\in X . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Области определения четной и нечетной функции симметричны относительно начала координат. Функция может быть ни нечетной, ни четной.

Пример. Функция y=x2cos(x) - четная, так как y(-x)=(-x)2cos(-x)= x2cos(x)=y(x), а функция y=x2sin(x) - нечетная, так как y(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sin(x)=-y(x). Функция y=x+2 не является ни четной, ни нечетной, так как y(-x)=-x+2.

< Лекция 3 || Лекция 4: 123 || Лекция 5 >
Оксана Лебедева
Оксана Лебедева

Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них.

Марат Марат
Марат Марат

в лекции ​8 на второй странице в конце, вторая производная у меня получается 4/x3 ....