Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них. |
Дифференцирование
Дифференцирование
Пусть задана функция y=f(x), ,
и точка
, где
. Тогда число
называется приращением аргумента в точке x . Приращением функции
в точке x соответствующего приращения
называется число
.
Рассмотрим несколько задач, которые привели к необходимости введения понятия производной функции.
Пример (Задача о движении). Некоторая точка движется по прямой по закону s=s(t), t - время (отсчитываемое от некоторой точки O ). Пусть в момент t=t0 точка находилась в положении A, а при t=t1 - в положении B (рис. 8.1).
Тогда за время![\Delta t=t_1-t_0](/sites/default/files/tex_cache/6b1aad694cb66e9b36797634cc92ae5b.png)
![|\overrightarrow{AB}|=s(t+\Delta t) - s(t)=\Delta s](/sites/default/files/tex_cache/369267eab1f88a38bebc7160fb100f5c.png)
![\Delta t](/sites/default/files/tex_cache/5a72f1304af0783657605aed0e38201a.png)
![V _{\text{ср}} = \frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t} = \frac {\Delta s}{\Delta t}.](/sites/default/files/tex_cache/885a2b57b671103e5ab2897319df92ba.png)
![V_{\text{ср}}=const](/sites/default/files/tex_cache/cc207c0671637b290dcec79dff47f4ea.png)
![V_{\text{ср}}=V_{\text{ср}}(\Delta t)\ne const](/sites/default/files/tex_cache/4d621e4be933db757d37afe672354833.png)
![t](/sites/default/files/tex_cache/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png)
![V_{\text{мгн}} = \lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac {\Delta s}{\Delta t} =
\lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}](/sites/default/files/tex_cache/42b291a7c40584523b03b959fbe8db18.png)
![V_{\text{мгн}} = V_{\text{мгн}}(t)](/sites/default/files/tex_cache/3f8a94e91fd8e2b04ac1df6bf03041e9.png)
Пример (Задача о наклоне касательной к кривой). Пусть задана кривая y=f(x). Рассмотрим точки M(x; y) и на этой кривой (рис. 8.2).
Касательной к линии y=f(x) в точке M называется прямая, которая совпадает с предельным значением прямой MN, когда точка N по кривой стремится к точке M, то есть .
Так как
, то
или угловой коэффициент k касательной к кривой можно определять как
![k=\tg\alpha = \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x}.](/sites/default/files/tex_cache/4c8e92c69bc00944844040418bea8b7d.png)
Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, при условии, что этот предел существует и конечен.
Обозначают производную несколькими способами: y', f'(x), ,
. Таким образом,
![f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} =
\lim\limits_{x\to 0} \frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.](/sites/default/files/tex_cache/19cfd751e9463224b2dd8660cc91f58e.png)
Значение производной f'(x) при x=a (в точке x=a ) обозначается как:
![y'(a), \ f'(a), \ y'|_{x=a},\ f'(x)|_{x=a} , \ \frac {dy}{dx} \bigl|_{x=a}.](/sites/default/files/tex_cache/dddad5de4c1f2729153905b96f8d7167.png)
Пример.
Вычислим y', где при x=1, используя только определение производной.
- Находим
;
- Находим предел:
- Подставляя в это выражение x=1, находим
.
В задаче о наклоне касательной мы выяснили, что угловой коэффициент касательной в точке x, проведенной к кривой y=f(x), будет иметь вид . Поэтому
.
Отсюда следует геометрический смысл производной в точке x: значение производной равно тангенсу угла, который образован касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке M(x; f(x)), с положительным направлением оси Ox . В задаче о движении мы выяснили, что
![V_{\text{мгн}}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac {\Delta s}{\Delta t} \
\implies \
V_{\text{мгн}} =s'(t).](/sites/default/files/tex_cache/fc1d24e644913280bbbf5ad6efa52c7c.png)
Отсюда следует механический смысл производной в точке x: значение производной равно мгновенной скорости (в момент времени x) материальной точки, движущейся по закону движения y=f(x) .
Найдем уравнение невертикальной касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке M0(x0;f(x0)) (если касательная вертикальна, то f'(x) - не существует, так как при этом ). Так как ее угловой коэффициент k=f'(x0), то уравнение касательной в точке M0 будет иметь вид: y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
Если у функции y=f(x) существует производная в точке x, то говорят, что функция y=f(x) дифференцируема в точке x.
Теорема(необходимое условие существования производной). Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она в этой точке непрерывна. Обратное утверждение неверно, то есть непрерывность функции в точке x не является достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке, и функция может быть непрерывной в точке, не имея в этой точке производной.
Теорема(правила дифференцирования функций). Если функции u=f(x) и v=g(x) дифференцируемы в некоторой точке из общей части их областей определения, иначе говоря, в точке , то в этой точке дифференцируемы функции u+v, u-v,
,
, причем справедливы, соответственно, формулы (дифференцирования суммы, разности, произведения и частного):
-
,
-
,
-
,
,
.
Теорема(правило дифференцирования сложной функции). Пусть даны функции
,
, причем
. Если существует в точке x0 производная
, а в точке
существует производная
, то сложная функция
имеет производную в точке x0, определяемую из формулы (дифференцирования сложной функции):
-
.
Найдем производные некоторых элементарных функций.
Теорема.
- Производная постоянной равна нулю, то есть (C)'=0, C=const.
- Производная функции y=sin x равна y'=cos x.
- Производная функции y=cos x равна y'=-sin x.
-
Производная функции y=ln x равна
.
- Имеет место формула (xn)'= nxn-1.
- Производная показательной функции при a>0,
равна:
,
Следствие. Для экспоненциальной функции (ex)'=ex.
Докажем, например, теорему для производной натурального логарифма.
Доказательство.
Для всех имеем
![\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {\ln (x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x} =
\frac {\ln \frac {x+\Delta x}{x}}{\Delta x} = \frac {\ln \Bigl(1+\frac
{\Delta x}{x}\Bigr)}{\Delta x} =
\ln \Bigl(1+\frac {\Delta x}{x} \Bigr)^{\frac {1}{\Delta x}}.](/sites/default/files/tex_cache/984b6ee91e41cba84e6a7e1c3f681199.png)
![\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} =
\lim\limits_{\Delta x\to 0}\ln \Bigl(1+\frac {\Delta x}{x} \Bigr)^{\frac
{1}{\Delta x}} =
\ln \Bigl(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigl(1+\frac {\Delta x}{x}
\Bigr)^{\frac {1}{\Delta x}} \Bigr).](/sites/default/files/tex_cache/c701c458d5008c928dc7c660b00aea6a.png)
![\lim\limits_{\Delta x\to 0} \Bigl(1+\frac {\Delta x}{x} \Bigr)^{\frac
{1}{\Delta x}} = e^{\frac {1}{x}}.](/sites/default/files/tex_cache/14fb425be5efc69a97f2a9d6947e4ce0.png)
![\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x} =\ln e^{\frac
{1}{x}}=\frac 1x\ln e = \frac 1x.](/sites/default/files/tex_cache/20a163a0afa840bcf5e69b103857d25b.png)