Теорема Цермело

Трансфинитная индукция и базис Гамеля

Вполне упорядоченные множества и теорема Цермело позволяют продолжать индуктивные построения в трансфинитную область (если выражаться торжественно). Поясним это на примере из линейной алгебры.

Всякое линейно независимое множество векторов в конечномерном пространстве может быть дополнено до базиса. Как это доказывается? Пусть - данное нам линейно независимое множество. Если оно не является базисом, то некоторый вектор через него не выражается. Добавим его к , получим линейно независимое множество . Если и оно не является базисом, то некоторый вектор через него не выражается, и т.д. Либо на каком-то шаге мы получим базис, либо процесс не оборвется и мы получим бесконечную последовательность линейно независимых векторов, что противоречит конечномерности.

Теперь с помощью трансфинитной индукции (точнее, рекурсии) мы избавимся от требования конечномерности.

Пусть дано произвольное векторное пространство. Говорят, что множество (возможно, бесконечное) векторов линейно независимо, если никакая нетривиальная линейная комбинация конечного числа векторов из этого множества не равна нулю. (Заметим в скобках, что говорить о бесконечных линейных комбинациях в принципе можно лишь если в пространстве определена сходимость, чего мы сейчас не предполагаем.) Линейно независимое множество векторов называется базисом Гамеля (или просто базисом ) данного пространства, если любой вектор представим в виде конечной линейной комбинации элементов этого множества.

Как и в конечной ситуации, максимальное линейно независимое множество (которое становится линейно зависимым при добавлении любого нового элемента) является, очевидно, базисом.

Теорема 26. Всякое линейно независимое множество векторов может быть расширено до базиса Гамеля.

Доказательство. Пусть - линейно независимое подмножество векторного пространства . Рассмотрим вполне упорядоченное множество достаточно большой мощности (большей, чем мощность пространства ). Определим функцию из в с помощью трансфинитной рекурсии:

элемент пространства , не выражающийся линейно через элементы и значения при .

Заметим, что это рекурсивное правило оставляет неопределенным, если такого невыразимого элемента не существует. (Кроме того, можно отметить, что мы снова используем аксиому выбора. Более подробно следовало бы сказать так: по аксиоме выбора существует некоторая функция, которая по каждому подмножеству пространства , через которое не все выражается, указывает один из невыразимых элементов. Затем эта функция используется в рекурсивном определении. Впрочем, аксиома выбора и так уже использована для доказательства теоремы Цермело.)

Это определение гарантирует, что является инъекцией; более того можно утверждать, что все значения вместе с множеством образуют линейно независимое множество. В самом деле, пусть линейная комбинация некоторых значений функции и элементов множества равна нулю. Можно считать, что все коэффициенты в этой комбинации отличны от нуля (отбросив нулевые слагаемые). Входящие в комбинацию значения функции имеют вид при различных . Посмотрим на тот из них, который имеет наибольшее ; по построению он должен быть линейно независим от остальных - противоречие.

Поскольку мы предположили, что множество имеет большую мощность, чем , рекурсивное определение задает функцию не на всем , а только на некотором начальном отрезке , а в точке рекурсивное правило не определено (теорема 19). Это означает, что все векторы пространства выражаются через элементы множества и значения функции на промежутке . Кроме того, как мы видели, все эти векторы независимы. Таким образом, искомый базис найден.

На самом деле можно обойтись без множества большей мощности, упорядочив само пространство . При этом на каждом шаге рекурсии надо либо добавлять очередной элемент к будущему базису (если он не выражается через предыдущие), либо оставлять базис без изменений.

115. Проведите это рассуждение подробно.

Базис Гамеля может быть использован для построения разных экзотических примеров. Вот некоторые из них:

Теорема 27.Существует (всюду определенная) функция , для которой при всех и , но которая не есть умножение на константу.

Доказательство. Рассмотрим как векторное пространство над полем . В нем есть базис Гамеля. Пусть - один из векторов базиса. Рассмотрим функцию , которая с каждым числом (рассматриваемым как вектор в пространстве над полем ) сопоставляет его -координату (коэффициент при в единственном выражении через векторы базиса). Эта функция линейна над , поэтому для всех . Она отлична от нуля ( ) и принимает лишь рациональные значения, поэтому не может быть умножением на константу.

116. Покажите, что всякая функция, обладающая указанными в теореме 27 свойствами, не ограничена ни на каком отрезке и, более того, ее график всюду плотен в .