Фундированные и вполне упорядоченные множества
Вполне упорядоченные множества
Фундированные линейно упорядоченные множества называются вполне упорядоченными, а соответствующие порядки - полными. Для линейных порядков понятия наименьшего и минимального элемента совпадают, так что во вполне упорядоченном множестве всякое непустое подмножество имеет наименьший элемент.
Заметим, что частично упорядоченное множество, в котором всякое непустое подмножество имеет наименьший элемент, автоматически является линейно упорядоченным (в самом деле, всякое двухэлементное множество имеет наименьший элемент, поэтому любые два элемента сравнимы).
Примеры вполне упорядоченных множеств: ,
(здесь
обозначает конечное линейно
упорядоченное множество из
элементов),
,
.
Наша цель - понять, как могут быть устроены вполне упорядоченные множества. Начнем с нескольких простых замечаний.
- Вполне упорядоченное множество имеет наименьший элемент. (Непосредственное следствие определения.)
- Для каждого элемента
вполне упорядоченного множества (кроме наибольшего) есть непосредственно следующий за ним элемент
(это значит, что
, но не существует
, для которого
). В самом деле, если множество всех элементов, больших
, непусто, то в нем есть минимальный элемент
, который и будет искомым. Такой элемент логично обозначать
, следующий за ним -
и т.д.
- Некоторые элементы вполне упорядоченного множества могут не иметь
непосредственно предыдущего. Например, в
множестве
есть два элемента, не имеющих непосредственно предыдущего (наименьший элемент, а также наименьший элемент второй копии натурального ряда). Такие элементы называют предельными.
- Всякий элемент упорядоченного множества имеет вид
, где
- предельный, а
- натуральное число (обозначение
понимается в описанном выше смысле). В самом деле, если
не предельный, возьмем предыдущий, если и он непредельный - то его предыдущий и т.д., пока не дойдем до предельного (бесконечно продолжаться это не может, так как множество вполне упорядочено). Очевидно, такое представление однозначно (у элемента может быть только один непосредственно предыдущий).
- Любое ограниченное сверху множество элементов вполне упорядоченного
множества имеет точную верхнюю грань.
(Как обычно, подмножество
частично упорядоченного множества
называется ограниченным сверху, если оно имеет верхнюю границу, т.е. элемент
, для которого
при всех
. Если среди всех верхних границ данного подмножества есть наименьшая, то она называется точной верхней гранью.)
В самом деле, множество всех верхних границ непусто и потому имеет наименьший элемент. (Заметим в скобках, что вопрос о точной нижней грани для вполне упорядоченного множества тривиален, так как всякое множество имеет наименьший элемент.)
Пусть - произвольное вполне упорядоченное множество. Его
наименьший элемент обозначим через
. Следующий за ним элемент
обозначим через
, следующий за
-
через
и т.д. Если
множество конечно, процесс этот оборвется. Если бесконечно,
посмотрим, исчерпали ли мы все элементы множества
. Если нет,
возьмем минимальный элемент из оставшихся. Обозначим его
.
Следующий за ним элемент (если он есть) обозначим
,
затем
и т.д Если и на этом множество не
исчерпается, то возьмем наименьший элемент из оставшихся,
назовем его
,
и повторим всю процедуру. Затем
будут
,
и т.д Если и
на этом множество не
кончится, минимальный из оставшихся элементов назовем
Затем
пойдут
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(мы не поясняем сейчас подробно обозначения).
Что, собственно говоря, доказывает это рассуждение? Попытаемся
выделить некоторые утверждения. При этом полезно
такое определение: если линейно упорядоченное множество
разбито на две (непересекающиеся) части
и
,
причем любой
элемент
меньше любого элемента
, то
называют начальным отрезком множества
.
Другими словами,
подмножество
линейно упорядоченного множества
является
начальным отрезком, если любой элемент
меньше любого
элемента
. Еще одна переформулировка:
является начальным отрезком, если из
,
и
следует
. Заметим, что
начальный отрезок
может быть пустым или совпадать со всем множеством.
Отметим сразу же несколько простых свойств начальных отрезков:
- Начальный отрезок вполне упорядоченного множества (как, впрочем, и любое подмножество) является вполне упорядоченным множеством.
- Начальный отрезок начального отрезка есть начальный отрезок исходного множества.
- Объединение любого семейства начальных отрезков (в одном и том же упорядоченном множестве) есть начальный отрезок того же множества.
- Если
- произвольный элемент вполне упорядоченного множества
, то множества
(все элементы множества
, меньшие
) и
(элементы множества
, меньшие или равные
) являются начальными отрезками.
- Всякий начальный отрезок
вполне упорядоченного множества
, не совпадающий со всем множеством, имеет вид
для некоторого
. (В самом деле, если
, возьмем наименьший элемент
в множестве
. Тогда все меньшие элементы принадлежат
, сам
не принадлежит
и все б\'ольшие
элементы не принадлежат
, иначе получилось бы противоречие с определением начального отрезка.)
- Любые два начальных отрезка вполне упорядоченного множества сравнимы по включению,т.е. один есть подмножество другого. (Следует из предыдущего.)
- Начальные отрезки вполне упорядоченного множества
, упорядоченные по включению, образуют вполне упорядоченное множество. Это множество состоит из наибольшего элемента (все
) и остальной части, изоморфной множеству
. (В самом деле, начальные отрезки множества
, не совпадающие с
, имеют вид
, и соответствие
будет изоморфизмом.)
Возвратимся к нашему рассуждению с последовательным выделением
различных элементов из вполне упорядоченного множества. Его
первую часть можно считать доказательством такого утверждения:
если вполне упорядоченное множество бесконечно, то оно имеет
начальный отрезок, изоморфный . (Говоря о множестве
натуральных чисел вместе с порядком, обычно употребляют
обозначение
, а
не
.)
Но на этом наше рассуждение не оканчивается. Его следующая часть
может считаться доказательством такого факта: либо изоморфно
некоторому начальному отрезку множества
, либо оно
имеет начальный отрезок, изоморфный
. (Здесь
- вполне упорядоченное
множество пар натуральных
чисел: сравниваются сначала вторые компоненты пар, а при их
равенстве - первые.)
Вообще верно такое утверждение: для любых двух вполне упорядоченных множеств одно изоморфно начальному отрезку другого, и доказательство состоит более или менее в повторении проведенного рассуждения. Но чтобы сделать это аккуратно, нужна некоторая подготовка.